Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα

Σ'αυτή τη διάτμητη χαρτογράφηση το κόκκινο βέλος αλλάζει κατεύθυνση, αλλά το μπλε όχι. Το μπλε βέλος είναι ένα ιδιοδιάνυσμα αυτής της διάτμητης χαρτογράφησης, και αφού το μήκος του είναι αμετάβλητο, η ιδιοτιμή του είναι ίση με 1.

Ενα ιδιοδιάνυσμα ενός τετραγωνικού πίνακα είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον , ισούται με το αρχικό διάνυσμα, πολλαπλασιασμένο με έναν αριθμό , έτσι ώστε:

Ο αριθμός ονομάζεται ιδιοτιμή του που αντιστοιχεί στο .[1]

Στην αναλυτική γεωμετρία, για παράδειγμα, ένα διάνυσμα με 3 στοιχεία, μπορεί να ταυτιστεί με ένα βέλος σε ένα τρισδιάστατο χώρο, ξεκινώντας από την αρχή των αξόνων. Σ'αυτην την περιπτωση, ένα ιδιοδιάνυσμα ενός 3x3 πίνακα είναι ένα βέλος η κατεύθυνση του οποίου ή διατηρείται, ή γίνεται ακριβώς η αντίθετη, μετά τον πολλαπλασιασμό με τον . Η αντίστοιχη ιδιοτιμή είναι αυτή που καθορίζει πως αλλάζει το μήκος του βέλους από τη διαδικασία, και εάν η κατεύθυνση του αντιστρέφεται ή όχι.

Στην αφηρημένη γραμμική άλγεβρα, οι έννοιες αυτές συνήθως επεκτείνονται σε πιο γενικές καταστάσεις, όπου οι παράγοντες που χρησιμοποιούνται σε πραγματική κλίμακα, αντικαθίστανται από σώματα κάθε διάστασης (όπως για παράδειγμα οι αλγεβρικοί ή οι μιγαδικοί αριθμοί), οι καρτεσιανές συντεταγμένες που αντικαθίστανται από τυχαίους διανυσματικούς χώρους (όπως για παράδειγμα των συνεχών συναρτήσεων, των πολυωνύμων ή των τριγωνομετρικών σειρών), και ο πολλαπλασιασμός πινάκων που αντικαθίσταται από κάθε γραμμικό τελεστή που απεικονίζει διανύσματα σε διανύσματα (όπως η παράγωγος από το διαφορικό λογισμό). Σ'αυτές τις περιπτώσεις, το "διάνυσμα" σε "ιδιοδιάνυσμα" μπορεί να αντικατασταθεί από έναν πιο ακριβή όρο, όπως "ιδιοσυνάρτηση","ιδιομορφή","ιδιοπροσωπία", ή "ιδιοκατάσταση". Επομένως, για παράδειγμα, η εκθετική συνάρτηση είναι μια ιδιοσυνάρτηση του παράγωγου φορέα " ", με ιδιοτιμή , αφού η παράγωγος της είναι η .

Το σύνολο όλων των ιδιοδιανυσμάτων ενός πίνακα (ή γραμμικού τελεστή), με το καθένα να ταιριάζει στην αντίστοιχη ιδιοτιμή του, καλείται το "ιδιοσύστημα" του πίνακα αυτού.[2] Ο ιδιοχώρος ενός πίνακα είναι το σύνολο όλων των ιδιοδιανυσμάτων με την ίδια ιδιοτιμή, συμπεριλαμβανομένου και του μηδενικού διανύσματος.[1] Μια ιδιοβάση του είναι κάθε βάση του συνόλου όλων των διανυσμάτων που αποτελείται απο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα του . Ενας πίνακας με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς μπορεί να μην έχει καμία ιδιοτιμή, αλλά ένας πίνακας με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς, έχει πάντα τουλάχιστον μία μιγαδική ιδιοτιμή.

Οι όροι χαρακτηριστικό διάνυσμα, χαρακτηριστικη τιμή, και χαρακτηριστικός χώρος χρησιμοποιούνται και σε αυτές τις έννοιες.

Οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα έχουν πολλές εφαρμογές και στα θεωρητικά, αλλά και στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Χρησιμοποιούνται στην παραγοντοποίηση πινάκων, στην Κβαντική μηχανική, και σε πολλούς άλλους τομείς.

Ορισμός

Ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές ενός πραγματικού πίνακα

Ο πίνακας απλά "τεντώνει" το διάνυσμα , χωρίς να αλλάζει την κατεύθυνσή του, επομένως το είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του .

Σε πολλά περιβάλλοντα, ένα διάνυσμα μπορεί να θεωρηθεί σαν μία λίστα με πραγματικούς αριθμούς (που ονομάζονται "στοιχεία"), γραμμένους κάθετα με παρενθέσεις γύρω από όλη τη λίστα, όπως τα διανύσματα "u" και "v" παρακάτω. Λέμε ότι δύο διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα μεταξύ τους, όταν έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων, και κάθε στοιχείο του ενός διανύσματος προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε το αντίστοιχο στοιχείο του άλλου διανύσματος, με ένα σταθερό αριθμό (γνωστό και ως "γραμμικό συντελεστή"). Για παράδειγμα, τα διανύσματα

και

είναι γραμμικά εξαρτημένα μεταξύ τους, αφού κάθε στοιχείο του είναι -20 φορές το στοιχείο στην αντίστοιχη θέση του .

Ενα διάνυσμα με 3 στοιχεία, όπως το ή το παραπάνω, μπορεί να αντιπροσωπεύουν ένα σημείο σε ένα τρισδιάστατο χώρο, αντιστοιχίζοντας το με Καρτεσιανές συντεταγμένες. Μας βοηθάει να σκεφτούμε τέτοια διανύσματα ως τη μύτη ενός βέλους, η αρχή του οποίου βρίσκεται στην αρχή των αξόνων του συστήματος συντεταγμένων. Σ'αυτη την περίπτωση, η συνθήκη "το είναι παράλληλο με το " σημαίνει ότι τα δύο βέλη κείτονται στην ίδια εύθεια γραμμή, και μπορεί να διαφέρουν μόνο στο μήκος και τη φορά, κατά μήκος της ευθείας αυτής.

Αν πολλαπλασιάσουμε οποιονδήποτε τετραγωνικό πίνακα με γραμμές και στήλες με ένα τέτοιο διάνυσμα , το αποτέλεσμα θα είναι ένα νέο διάνυσμα , επίσης με γραμμές και μία στήλη. Ετσι έχουμε

αντιστοιχεί στο

όπου, για κάθε δείκτη ,

Γενικά, αν το δεν είναι το μηδενικό διάνυσμα, τα διανύσματα και δε θα είναι παράλληλα. Οταν "είναι" παράλληλα (δηλαδή όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε ) λέμε ότι το είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του . Σ'αυτη την περίπτωση, ο γραμμικός συντελεστής ορίζεται να είναι η ιδιοτιμή που αντιστοιχεί σ'αύτο το ιδιοδιάνυσμα.

Συγκεκριμένα, πολλαπλασιασμός με έναν 3x3 πίνακα μπορεί να αλλάξει και την κατεύθυνση και το μέγεθος ενός βέλους στον τρισδιάστατο χώρο. Παρολαυτά, αν είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του με ιδιοτιμή , η διαδικασία μπορει να αλλάξει μόνο το μήκος του ή να αναστρέψει τη φορά του (να κάνει το βέλος να δείχνει στην ακριβώς αντίθετη κατεύθυνση). Συγκεκριμένα, το μήκος του βέλους θα αυξηθεί αν , θα παραμείνει ίδιο αν , και θα μειωθεί αν . Επιπλέον, η κατεύθυνση θα παραμείνει η ίδια αν , και θα αναστραφεί, αν . Αν , το μήκος του βέλους γίνεται μηδέν.

Ενα παράδειγμα

Ο πίνακας μετασχηματισμού διατηρεί την κατεύθυνση των διανυσμάτων που είναι παράλληλα στο (σε μπλε) και (σε μωβ). Τα σημεία που κείτονται στη βασική ευθεία, παράλληλη σε ένα ιδιοδιάνυσμα, παραμένουν στην ευθεία αυτή και μετά τον μετασχηματισμό. Τα διανύσματα με κόκκινο δεν είναι ιδιοδιανύσματα, επομένως η κατεύθυνση τους αλλάζει από το μετασχηματισμό. Δείτε επίσης: Μια επεκτεταμένη έκδοχη, που δείχνει και τα 4 τεταρτοκύκλια.

Για τον πίνακα μετασχηματισμού

το διάνυσμα

είναι ένα ιδιοδιάνυσμα με ιδιοτιμή 2. Πράγματι,

Αντίθετα, το διάνυσμα

δεν είναι ένα ιδιοδιάνυσμα, αφού

και αυτό το διάνυσμα δεν είναι πολλαπλάσιο του αρχικού διανύσματος .

Αλλο ένα παράδειγμα

Για τον πίνακα

έχουμε

και

Επομένως, τα διανύσματα , και είναι ιδιοδιανύσματα του που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές 0, 3, και 2, αντίστοιχα. (Εδώ το σύμβολο δηλώνει την αναστροφή πίνακα, στην προκειμένη περίπτωση, μετατρέποντας τα διανύσματα-γραμμές, σε διανύσματα-στήλες.)

Τετριμμένες περιπτώσεις

Ο ταυτoτικός πίνακας (όπου το τυχαίο σημείο του είναι 1 αν , και 0 σε κάθε άλλη περίπτωση) αντικατοπτρίζει κάθε διάνυσμα στον εαυτό του. Έτσι κάθε διάνυσμα είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του , με ιδιοτιμή 1.

Γενικότερα, αν ο είναι ένας διαγώνιος πίνακας (με όταν ), και ένα διάνυσμα παράλληλο στον άξονα (το οποίο είναι , και αν ), τότε όπου . Δηλαδή, οι ιδιοτιμές ενός διαγώνιου πίνακα είναι τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου του. Αυτή είναι τετριμμένα και η περίπτωση ενός οποιουδήποτε 1 ×1 πίνακα

Γενικός ορισμός

Η έννοια των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων επεκτείνεται φυσικά σε αόριστους γραμμικούς μετασχηματισμούς σε αόριστους ιδιοχώρους. Ονομαστικά, ας είναι οποιοσδήποτε ιδιοχώρος μέσα σε μία πεδίο τών μονοδιάστατων, και ας είναι μια χαρτογράφηση γραμμικού μετασχηματισμού σε . Λέμε πως ένα μη μηδενικό διάνυσμα ενός είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του αν(και μόνο αν) υπάρχει ένα μονοδιάστατο σε έτσι ώστε

.

Αυτή η εξίσωση καλείται εξίσωση ιδιοτιμής για το , και το μονοδιάστατο είναι η ιδιοτιμή του που αντιστοιχεί στο διάνυσμα . Το είναι το αποτέλεσμα της εφαρμογής του στο διάνυσμα , ενώ το αποτέλεσμα του μοναδιαίου στο .[3] Ο ορισμός για τους πίνακες είναι μια ειδική περίπτωση αυτού του γενικού ορισμού. Ονομαστικά ο ιδιοχώρος είναι το σύνολο όλων των διανυσμάτων στηλών μιας συγκεκριμένης διάστασης ×1, και είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός που συνίσταται στoν πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με τον δοσμένο πίνακα .

Μερικοί συντάκτες επιτρέπουν στο να είναι το μηδενικό διάνυσμα στον ορισμό του ιδιοδιανύσματος.[4] Κάτι τέτοιο είναι λογικό εφόσον ορίσουμε προσεκτικά τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα: Αν θέλουμε να συμπεριλάβουμε στον ορισμό το μηδενικό διάνυσμα ώς ιδιοδιάνυσμα, πρέπει πρώτα να ορίσουμε μια ιδιοτιμή του ώς ένα μοναδιαίο σε έτσι ώστε να υπάρχει ένα μη μηδενικό διάνυσμα σε με . Όταν ορίζουμε ένα ιδιοδιάνυσμα να είναι ένα διάνυσμα σε έτσι ώστε να υπάρχει μια ιδιοτιμή σε με . Με αυτόν τον τρόπο βεβαιώνουμε πως δεν είμαστε στην περίπτωση που κάθε ιδιοτιμή αντιστοιχεί στο μηδενικό διάνυσμα.

Ιδιοχώρος και φάσμα

Αν το είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του , με ιδιοτιμή , τότε κάθε γραμμικός συνδυασμός του με μη μηδενικό, είναι επίσης ένα ιδιοδιάνυσμα με ιδιοτιμή , αφού . Επιπλέον, αν τα και είναι ιδιοδιανύσματα με την ίδια ιδιοτιμή , τότε το είναι επίσης ένα ιδιοδιάνυσμα με την ίδια ιδιοτιμή . Επομένως, το σύνολο όλων των ιδιοδιανυσμάτων με την ίδια ιδιοτιμή , συμπεριλαμβανομένου του μηδενικού διανύσματος, είναι ένας γραμμικός υποχώρος του , που ονομάζεται ιδιοχώρος του με παράμετρο .[5][6] Αν ο υποχώρος αυτός έχει διάσταση 1, τότε συνήθως ονομάζεται ιδιογραμμή.[7]

Ο γεωμετρικός πολλαπλασιαστής μιας ιδιοτιμής είναι η διάσταση του ιδιοχώρου με παράμετρο , π.χ. ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων ιδιοδιανυσμάτων με αυτή την ιδιοτιμή. Αυτά τα ιδιοδιανύσματα, μπορούν να επιλεγούν με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι κατά ζεύγη ορθογώνια και να έχουν μήκος μονάδας κάτω από κάποιο αυθαίρετο εσωτερικό γινόμενο ορισμένο στον . Με άλλα λόγια, κάθε ιδιοχώρος έχει μια ορθοκανονική βάση αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα.

Αντίστροφα, κάθε ιδιοδιάνυσμα με ιδιοτιμή πρέπει να είναι γραμμικά ανεξάρτητο με όλα τα ιδιοδιανύσματα που είναι συνδεδεμένα με μια διαφορετική ιδιοτιμή . Επομένως, ο γραμμικός μετασχηματισμός που εφαρμόζεται σε ένα -διάστατο χώρο δεν μπορεί να έχει παραπάνω από σαφείς ιδιοτιμές (ή ιδιοχώρους).[8]

Κάθε υποχώρος που παράγεται από ιδιοδιανύσματα του είναι ένας αμετάβλητος υποχώρος του .

Το σύνολο των ιδιοτιμών του ονομάζεται μερικές φορες το φάσμα του . Η σειρά αυτού του συνόλου είναι αυθαίρετη, αλλά το πλήθος των φορών που εμφανίζεται μια ιδιοτιμή είναι σημαντικό.

Δεν υπάρχει μοναδικός τρόπος να διαλέξουμε μια βάση για έναν ιδιοχώρο ενός αυθαίρετου γραμμικού τελεστή που να βασίζεται μόνο στον , χωρίς κάποια επιπλέον στοιχεία, όπως η επιλογή της βάσης συντεταγμένων του . Ακόμη και για μια ιδιογραμμή, το διάνυσμα της βάσης είναι ασαφές και ως προς το μέγεθος, και ως προς την κατεύθυνσή του. Αν ο βαθμωτός χώρος είναι ο χώρος των πραγματικών αριθμών , τότε μπορουμε να ορίσουμε τους ιδιοχώρους από τις ιδιοτιμές. Αφου το μόντουλο μιας ιδιοτιμής είναι σημαντικό σε πολλές εφαρμογές, οι ιδιοχώροι συχνά ορίζονται με αυτό το κριτήριο.

Ιδιοβάση

Μια ιδιοβάση ενός γραμμικού τελεστή που εφαρμόζεται σε ένα διανυσματικό χώρο είναι μια βάση του που αποτελείται εξ'ολοκλήρου από ιδιοδιανύσματα του (πιθανότατα με διαφορετικές ιδιοτιμές). Τετοιού είδους βάση μπορεί και να μην υπάρχει.

Ας υποθέσουμε ότι ο έχει πεπερασμένη διάσταση , και ας θέσουμε το άθροισμα των γεωμετρικών πολλαπλάσιων πάνω σε όλες τις ανεξάρτητες ιδιοτιμές του . Ο ακέραιος αυτός είναι ο μέγιστος αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων ιδιοδιανυσμάτων του , κι επομένως δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος του . Αν το είναι ακριβώς , τότε ο ορίζει μια ιδιοβάση, με προϋπόθεση ότι υπάρχει μια βάση του που αποτελείται από ιδιοδιανύσματα. Ο πίνακας που αντιπροσωπεύει τον ως προς τη βάση αυτή, είναι ένας διαγώνιος πίνακας, του οποίου τα διαγώνια στοιχεία είναι οι ιδιοτιμές που αντιστοιχούν σε κάθε διάνυσμα της βάσης αυτής.

Αντίθετα, αν το άθροισμα είναι μικρότερο του , τότε ο δεν ορίζει ιδιοβάση, και δεν υπάρχει κατάλληλη επιλογή συντεταγμένων, τέτοιες ώστε να επιτρέψουν τον να αντικατασταθεί από ένα διαγώνιο πίνακα.

Ο είναι τουλάχιστον ίσος με το πλήθος των ανεξάρτητων ιδιοτιμών του , αλλά μπορεί να είναι και μεγαλύτερος απ'αυτό.[9] Για παράδειγμα, ο φορέας ταυτότητας στον έχει , και κάθε βάση του είναι μια ιδιοβάση του ; αλλά η μόνη της ιδιοτιμή είναι το 1, με .

άλλες γλώσσες
беларуская: Уласны вектар
беларуская (тарашкевіца)‎: Уласныя лікі, вэктары і прасторы
עברית: ערך עצמי
Bahasa Indonesia: Nilai dan vektor Eigen
íslenska: Eigen gildi
日本語: 固有値
한국어: 고윳값
norsk: Egenvektor
slovenščina: Lastna vrednost
українська: Власний вектор
اردو: ویژہ قدر
Tiếng Việt: Vectơ riêng
粵語: 特徵向量