Αντιμεταθετική άλγεβρα

Αντιμεταθετική άλγεβρα είναι ο κλάδος της άλγεβρας που ασχολείται με τη μελέτη των αντιμεταθετικών δακτυλίων, των ιδεωδών τους και των modules που παράγονται πάνω από αυτούς τους δακτύλιους. Η αντιμεταθετική άλγεβρα αποτελεί βασικό εργαλείο της αλγεβρικής γεωμετρίας και της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών. Βασικά παραδείγματα αντιμεταθετικών δακτυλίων αποτελούν τα σώματα, ο δακτύλιος των ακεραίων καθώς και οι πολυωνυμικοί (μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών) δακτύλιοι, οι δακτύλιοι των αλγεβρικών ακεραίων και οι δακτύλιοι των p-αδικών αριθμών. [1]

Η μελέτη μη-αντιμεταθετικών δακτυλίων ονομάζεται μη-αντιμεταθετική άλγεβρα, η οποία περιλαμβάνει τη θεωρία δακτυλίων, τη θεωρία αναπαραστάσεων και τη θεωρία των αλγεβρών Banach.

Επισκόπηση

Η αντιμεταθετική άλγεβρα είναι ουσιαστικά η μελέτη των δακτυλίων που υπάρχουν στην αλγεβρική θεωρία αριθμών και την αλγεβρική γεωμετρία.

Στην αλγεβρική θεωρία αριθμών, οι δακτύλιοι των αλγεβρικών ακεραίων είναι οι δακτύλιοι του Dedekind, οι οποίοι αποτελούν, συνεπώς, μια σημαντική κατηγορία των αντιμεταθετικών  δακτυλίων. Οι εκτιμήσεις που σχετίζονται με την αριθμητική του μέτρου οδήγησαν στην έννοια του δακτυλίου αποτίμησης. Ο περιορισμός του τομέα της αλγεβρικής επέκτασης όσον αφορά τους υποδακτυλίους οδήγησε στις έννοιες της ολοκληρωματικής επέκτασης και των ολοκληρωματικά κλειστών πεδίων ορισμού , καθώς και στην έννοια της διακλάδωσης μιας επέκτασης των αποτιμημένων δακτυλίων.

Η έννοια του εντοπισμού ενός δακτυλίου(ιδίως ο εντοπισμός όσον αφορά το  πρώτο ιδεώδες, ο οποίος συνίσταται από την αναστροφή ενός ενιαίου στοιχείου και το ολικό πηλίκο δακτυλίου) είναι μία από τις κύριες διαφορές μεταξύ αντιμεταθετικής άλγεβρας και της θεωρία των μη-αντιμεταθετικών δακτυλίων. Αυτό οδηγεί σε μια σημαντική κατηγορία αντιμεταθετικών δακτυλίων, τους τοπικούς δακτύλιους που έχουν μόνο ένα μεγιστοτικό ιδεώδες. Το σύνολο των πρώτων ιδεωδών των αντιμεταθετικών δακτυλίων είναι φυσικά εξοπλισμένο με μια τοπολογία, την Zariski τοπολογία. Όλες αυτές οι έννοιες χρησιμοποιούνται ευρέως στην αλγεβρική γεωμετρία και αποτελούν τα βασικά τεχνικά εργαλεία για τον καθορισμό της θεωρίας σχήματος, μια γενίκευση της αλγεβρικής γεωμετρίας που εισάγεται από τον  Grothendieck.

Πολλές άλλες έννοιες της αντιμεταθετικής άλγεβρας είναι ομόλογες των γεωμετρικών εννοιών που συναντώνται στην αλγεβρική γεωμετρία. Αυτή είναι η περίπτωση της διάστασης του Krull, της πρωτοβάθμιας παραγοντοποίησης, των κανονικών δακτυλίων, των Cohen-Mecaulay δακτυλίων, των Gorenstein δακτυλίων και πολλών άλλων εννοιών.

άλλες γλώσσες