Άπειρο

Το σύμβολο του απείρου, σε διάφορες γραμματοσειρές.

Το άπειρο (σύμβολο: ) είναι αφηρημένη έννοια που περιγράφει κάτι χωρίς κανένα όριο και έχει σημασία σε μια σειρά από επιστήμες, κυρίως τα μαθηματικά και τη φυσική. Η λέξη άπειρο προέρχεται από το στερητικό πρόθεμα "α-" και τη λέξη "πέρας" που σημαίνει τέλος. Αναφέρεται σε διαφορετικές έννοιες (που συνήθως συνδέονται με την έννοια του "χωρίς τέλος") που προκύπτουν στη φιλοσοφία, τα μαθηματικά και τη θεολογία.

Στα μαθηματικά, το "άπειρο" χρησιμοποιείται συνήθως σε περιπτώσεις όπου αντιμετωπίζεται σαν να ήταν αριθμός (δηλαδή για τη σειρά ή το μέγεθος κάποιου πράγματος, π.χ.:"άπειρος αριθμός στοιχείων") αλλά είναι διαφορετικό είδος αριθμού από τους πραγματικούς αριθμούς. Το άπειρο βρίσκεται στα όρια, στους αριθμούς άλεφ, στις τάξεις της θεωρίας συνόλων, στα Ντέντεκιντ-άπειρα σύνολα, στο παράδοξο του Ράσελ, στη μη καθιερωμένη αριθμητική, στους υπερπραγματικούς αριθμούς, στην προβολική γεωμετρία, στο εκτεταμένο σύστημα πραγματικών αριθμών και στο απόλυτο άπειρο του Κάντορ.

Ο Γκέοργκ Κάντορ επισημοποίησε πολλές ιδέες που σχετίζονται με το άπειρο και τις άπειρες σειρές κατά τα τέλη του 19ου και στις αρχές του 20ου αιώνα. Στη θεωρία που ανέπτυξε, υπάρχουν άπειρες σειρές διαφόρων μεγεθών (πληθικότητα). Για παράδειγμα, το σύνολο των ακεραίων είναι αριθμήσιμο, ενώ το άπειρο σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι υπεραριθμήσιμο.

Ιστορία

Οι αρχαίοι πολιτισμοί είχαν διάφορες ιδέες για τη φύση του απείρου. Οι αρχαίοι Ινδοί και οι αρχαίοι Έλληνες δεν ορίζουν το άπειρο με ακριβή φορμαλισμό όπως και οι σύγχρονοι μαθηματικοί, και αντ' αυτού προσεγγίζουν το άπειρο ως φιλοσοφική έννοια.

Πρώιμη Ελλάδα

Η πρώτη καταγεγραμμένη ιδέα του απείρου προέρχεται από τον Αναξίμανδρο, προσωκρατικό Έλληνα φιλόσοφο που έζησε στη Μίλητο. Χρησιμοποίησε τη λέξη άπειρον που σημαίνει άπειρο ή απεριόριστο. Ωστόσο, ο πρώτος απολογισμός του απείρου στα μαθηματικά προέρχεται από τον Ζήνωνα τον Ελεάτη (490 π.Χ. - 425 π.Χ.), ο οποίος ήταν ένας από τους αρχαίους Έλληνες προσωκρατικούς φιλοσόφους στην Κάτω Ιταλία και μέλος της Ελεατικής σχολής, που ίδρυσε ο Παρμενίδης. Ο Αριστοτέλης τον αποκαλούσε εφευρέτη της διαλεκτικής μεθόδου. Ο Ζήνων ο Ελεάτης είναι γνωστός για τα τέσσερα παράδοξά του, τα οποία ο Μπέρτραντ Ράσελ περιέγραψε ως ασύγκριτα διακριτικά και βαθιά.

Σύμφωνα με την παραδοσιακή άποψη του Αριστοτέλη, οι Έλληνες της Ελληνιστικής Εποχής γενικά προτιμούν να διακρίνουν το δυναμικό άπειρο από το πραγματικό άπειρο. Για παράδειγμα, αντί να λένε ότι υπάρχει ένας άπειρος αριθμός πρώτων αριθμών, ο Ευκλείδης προτιμά αντ' αυτού να λέει ότι υπάρχουν περισσότεροι πρώτοι αριθμοί από αυτούς που περιέχονται σε κάθε δεδομένη συλλογή πρώτων αριθμών.

Ωστόσο, οι πρόσφατες ερμηνείες του αναγνώσματος Παλίμψηστο του Αρχιμήδη υπαινίσσονται ότι ο Αρχιμήδης είχε τουλάχιστον μια διαίσθηση για τη πραγματική ποσότητα του απείρου.

Πρώιμη Ινδία

Το ινδικό μαθηματικό κείμενο Σουρύα Πρατζνάτι (Surya Prajnapti, 3ος-4ος αιώνας π.Χ.) κατατάσσει όλους τους αριθμούς σε τρεις ομάδες: αριθμήσιμα, αναρίθμητα, και άπειρα σύνολα. Κάθε ένα από αυτά χωρίστηκε σε τρεις τάξεις:

  • Αριθμήσιμα: χαμηλότερη, ενδιάμεση, και υψηλότερη
  • Αναρίθμητα: σχεδόν αναρίθμητα, πραγματικά αναρίθμητα, και αναρίθμητα αναρίθμητα
  • Άπειρα: σχεδόν άπειρα, πραγματικά άπειρα, απείρως άπειρα

Σε αυτό το έργο, διακρίνονται δύο βασικοί τύποι άπειρων αριθμών. Και στους δύο λόγους, φυσικό και οντολογικό, έγινε διάκριση μεταξύ asaṃkhyāta ("αμέτρητων, αναρίθμητων") και ananta ("ατελείωτων, απεριόριστων"), μεταξύ αυστηρά οριοθετημένων και χαλαρά οριοθετημένων απείρων.

17ος αιώνας

Οι Ευρωπαίοι μαθηματικοί άρχισαν να χρησιμοποιούν άπειρους αριθμούς με συστηματικό τρόπο κατά τον 17ο αιώνα. Ο Τζον Ουάλις (John Wallis) χρησιμοποίησε για πρώτη φορά τον συμβολισμό για μια τέτοια σειρά, ώστε να αξιοποιηθεί αυτό στους υπολογισμούς διαιρώντας την περιοχή σε απειροελάχιστες λωρίδες πλάτους της τάξης του . Ο Όιλερ χρησιμοποίησε το συμβολισμό για έναν άπειρο αριθμό, και το αξιοποίησε εφαρμόζοντας τον τύπο του διωνύμου για τη δύναμη, και άπειρα προϊόντα από παράγοντες.

άλλες γλώσσες
Alemannisch: Unendlichkeit
አማርኛ: አዕላፍ
aragonés: Infinito
العربية: لانهاية
অসমীয়া: অসীম
asturianu: Infinitu
azərbaycanca: Sonsuzluq
башҡортса: Сикһеҙлек
žemaitėška: Begalībė
беларуская: Бесканечнасць
беларуская (тарашкевіца)‎: Бясконцасьць
български: Безкрайност
বাংলা: অসীম
bosanski: Beskonačnost
català: Infinit
کوردی: بێکۆتایی
corsu: Infinitu
čeština: Nekonečno
Чӑвашла: Вĕçсĕрлĕх
Cymraeg: Anfeidredd
Deutsch: Unendlichkeit
English: Infinity
Esperanto: Senfineco
español: Infinito
eesti: Lõpmatus
euskara: Infinitu
فارسی: بی‌نهایت
français: Infini
Gaeilge: Éigríoch
贛語: 無限
galego: Infinito
ગુજરાતી: અનંત
עברית: אינסוף
हिन्दी: अनंत
hrvatski: Beskonačnost
magyar: Végtelen
Bahasa Indonesia: Tak hingga
Ilokano: Awan inggana
íslenska: Óendanleiki
日本語: 無限
Patois: Infiniti
la .lojban.: li ci'i
ქართული: უსასრულობა
қазақша: Шексіздік
ಕನ್ನಡ: ಅನಂತ
한국어: 무한
kurdî: Bêdawî
Latina: Infinitas
lietuvių: Begalybė
latviešu: Bezgalība
Malagasy: Tsiefa
македонски: Бесконечност
മലയാളം: അനന്തത
монгол: Хязгааргүй
मराठी: अनंत
Bahasa Melayu: Ketakterhinggaan
မြန်မာဘာသာ: အနန္တ
Nederlands: Oneindigheid
norsk nynorsk: Uendeleg
norsk: Uendelig
occitan: Infinit
ਪੰਜਾਬੀ: ਅਨੰਤ
پنجابی: انانتی
português: Infinito
română: Infinit
русиньскый: Бесконечность
Scots: Infinity
srpskohrvatski / српскохрватски: Beskonačnost
සිංහල: අනන්තය
Simple English: Infinity
slovenčina: Nekonečno
slovenščina: Neskončnost
српски / srpski: Бесконачност
svenska: Oändlighet
தமிழ்: முடிவிலி
తెలుగు: అనంతము
тоҷикӣ: Беинтиҳоӣ
Türkçe: Sonsuz
татарча/tatarça: Чиксезлек
українська: Нескінченність
oʻzbekcha/ўзбекча: Cheksizlik
Tiếng Việt: Vô tận
Winaray: Infinidad
中文: 无穷
文言: 無限
Bân-lâm-gú: Bû-hān
粵語: 無限大