Hilbertraum

Ein Hilbertraum (auch Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum), benannt nach dem deutschen Mathematiker David Hilbert, ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Ein Hilbertraum ist ein Vektorraum über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen, versehen mit einem Skalarprodukt – und damit Winkel- und Längenbegriffen –, der vollständig ist bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten Norm (des Längenbegriffs). Ein Hilbertraum ist ein Banachraum, dessen Norm durch ein Skalarprodukt induziert ist. Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem Prähilbertraum.

Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine Hilbertraumdimension. Diese kann eine beliebige Kardinalzahl sein. Ist die Dimension endlich, so handelt es sich um einen euklidischen Raum. In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der Quantenmechanik, ist „der“ Hilbertraum mit abzählbarer Dimension, d. h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. Ein Element eines Hilbertraums kann als eine Familie einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen kartesische Koordinaten genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer Hamelbasis ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in abzählbar vielen Koordinaten einer Orthonormalbasis ungleich null und die Koordinatenfamilie ist quadratsummabel.

Hilberträume tragen durch ihr Skalarprodukt eine topologische Struktur. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von Normen bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen.

In anderen Sprachen
Afrikaans: Hilbert-ruimte
العربية: فضاء هيلبرت
azərbaycanca: Hilbert fəzası
dansk: Hilbertrum
Ελληνικά: Χώρος Χίλμπερτ
English: Hilbert space
Esperanto: Hilberta spaco
magyar: Hilbert-tér
lietuvių: Hilberto erdvė
Nederlands: Hilbertruimte
norsk nynorsk: Hilbertrom
norsk: Hilbertrom
پنجابی: ہلبرٹ سپیس
português: Espaço de Hilbert
română: Spațiu Hilbert
srpskohrvatski / српскохрватски: Hilbertov prostor
Simple English: Hilbert space
slovenčina: Hilbertov priestor
slovenščina: Hilbertov prostor
српски / srpski: Хилбертов простор
svenska: Hilbertrum
Türkçe: Hilbert uzayı
oʻzbekcha/ўзбекча: Gilbert fazosi
Tiếng Việt: Không gian Hilbert
粵語: 囂拔空間