Flächeninhalt

Physikalische Größe
Name Flächeninhalt
Oberfläche
Querschnittsfläche
Formelzeichen
Abgeleitet von Länge
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI m2 L2
cgs cm2 L2
Planck Planck-Fläche ħ· G· c−3

Der Flächeninhalt ist ein Maß für die Größe einer Fläche. Unter Fläche versteht man dabei zweidimensionale Gebilde, das heißt solche, in denen man sich in zwei unabhängige Richtungen bewegen kann. Darunter fallen die üblichen Figuren der ebenen Geometrie wie Rechtecke, Polygone, Kreise, aber auch Begrenzungsflächen dreidimensionaler Körper wie Quader, Kugel, Zylinder usw. Für viele Anwendungen genügen diese Flächen bereits, komplexere Flächen lassen sich oft aus diesen zusammensetzen oder durch diese annähern.

Der Flächeninhalt spielt in der Mathematik, bei der Definition vieler physikalischer Größen, aber auch im Alltag eine wichtige Rolle. So ist etwa Druck als Kraft pro Fläche definiert oder das magnetische Moment einer Leiterschleife als Strom mal umflossene Fläche. Grundstücks- und Wohnungsgrößen werden durch Angabe ihrer Grundfläche vergleichbar. Materialverbrauch, beispielsweise von Saatgut für ein Feld oder Farbe zum Anstreichen einer Fläche, kann mit Hilfe des Flächeninhalts abgeschätzt werden.

Der Flächeninhalt ist normiert in dem Sinne, dass das Einheitsquadrat, das heißt das Quadrat mit Seitenlänge 1, den Flächeninhalt 1 hat; in Maßeinheiten ausgedrückt, hat ein Quadrat mit der Seitenlänge 1  m den Flächeninhalt 1  m2. Um Flächen durch ihren Flächeninhalt vergleichbar zu machen, muss man fordern, dass kongruente Flächen denselben Flächeninhalt haben und dass sich der Flächeninhalt zusammengesetzter Flächen als Summe der Inhalte der Teilflächen ergibt.

Die Aus messung von Flächeninhalten geschieht in der Regel nicht direkt. Stattdessen werden bestimmte Längen gemessen, woraus dann der Flächeninhalt berechnet wird. Zur Messung des Flächeninhalts eines Rechtecks oder einer Kugeloberfläche misst man üblicherweise die Seitenlängen des Rechtecks bzw. den Durchmesser der Kugel und erhält den gewünschten Flächeninhalt mittels geometrischer Formeln, wie sie unten aufgelistet werden.

Flächeninhalte einiger geometrischer Figuren

Drei bekannte Figuren aus der ebenen Geometrie auf kariertem Hintergrund

In nachfolgender Tabelle sind einige bekannte Figuren aus der ebenen Geometrie zusammen mit Formeln zur Berechnung ihres Flächeninhaltes aufgelistet.

Figur/Objekt Bezeichnungen Flächeninhalt
Quadrat Seitenlänge
Rechteck Seitenlängen
Dreieck
(siehe auch: Dreiecksfläche)
Grundseite , Höhe , rechtwinklig zu
Trapez zueinander parallele Seiten , Höhe , rechtwinklig zu und
Raute Diagonalen und
Parallelogramm Seitenlänge , Höhe , rechtwinklig zu
Kreis Radius , Durchmesser
Ellipse Große und kleine Halbachsen bzw.
reguläres Sechseck Seitenlänge

Zur Ermittlung des Flächeninhaltes eines Polygons kann man dieses triangulieren, das heißt, es durch Ziehen von Diagonalen in Dreiecke zerlegen, dann die Flächeninhalte der Dreiecke ermitteln und diese Teilflächen schließlich addieren. Sind die Koordinaten , , der Eckpunkte des Polygons in einem kartesischen Koordinatensystem bekannt, kann die Fläche mit der Gaußschen Trapezformel berechnet werden:

Dabei gilt hier für die Indizes: Mit ist und mit ist gemeint. Die Summe ist positiv, wenn die Eckpunkte entsprechend dem Drehsinn des Koordinatensystems durchlaufen werden. Eventuell ist bei negativen Ergebnissen der Betrag zu wählen. Speziell für polygonale Flächen mit Gitterpunkten als Ecken lässt sich der Satz von Pick anwenden. Andere Flächen lassen sich in der Regel leicht durch Polygone approximieren, so dass man leicht an einen Näherungswert kommen kann.

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