Eigenwertproblem

In dieser Scherung der Mona Lisa wurde das Bild so verformt, dass der rote Pfeil (Vektor) seine Richtung (entlang der vertikalen Achse) nicht geändert hat, der blaue Pfeil jedoch schon. Der rote Vektor ist ein Eigenvektor der Scherabbildung, während der blaue Vektor dies aufgrund seiner Richtungsänderung nicht ist. Da der rote Vektor nicht skaliert wird, ist sein zugehöriger Eigenwert 1.

Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur skaliert und man bezeichnet den Skalierungsfaktor als Eigenwert der Abbildung.

Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht. In vielen Anwendungen beschreiben Eigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells. Die Verwendung der Vorsilbe „Eigen-“ für charakteristische Größen in diesem Sinne lässt sich auf eine Veröffentlichung von David Hilbert aus dem Jahre 1904 zurückführen[1] und wird als Germanismus auch in einigen weiteren Sprachen, darunter dem Englischen, verwendet.

Die im Folgenden beschriebene mathematische Problemstellung heißt spezielles Eigenwertproblem und bezieht sich nur auf lineare Abbildungen eines endlichdimensionalen Vektorraums in sich (Endomorphismen), wie sie durch quadratische Matrizen dargestellt werden.

Die Frage, die sich hier stellt, lautet: Unter welchen Bedingungen ist eine Matrix ähnlich zu einer Diagonalmatrix?[2]

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