Differenzierbare Mannigfaltigkeit

In der Mathematik sind differenzierbare Mannigfaltigkeiten ein Oberbegriff für Kurven, Flächen und andere geometrische Objekte, die – aus der Sicht der Analysis – lokal aussehen wie ein euklidischer Raum. Im Unterschied zu topologischen Mannigfaltigkeiten ist es auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten möglich, über Ableitungen und verwandte Konzepte zu sprechen. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind Hauptgegenstand der Differentialgeometrie und der Differentialtopologie. Sie spielen auch eine zentrale Rolle in der theoretischen Physik, insbesondere in der klassischen Mechanik bei Systemen, die Zwangsbedingungen unterliegen, und bei der Beschreibung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie.

Es gibt zwei Herangehensweisen an differenzierbare Mannigfaltigkeiten: einerseits als Teilmengen eines höherdimensionalen euklidischen Raumes, die entweder durch Gleichungen oder durch Parametrisierungen beschrieben sind und im Artikel Untermannigfaltigkeit des behandelt werden, und andererseits als abstrakte Mannigfaltigkeiten, deren differenzierbare Struktur durch einen Atlas gegeben ist. Die Äquivalenz der beiden Sichtweisen wird durch den Einbettungssatz von Whitney sichergestellt.

Definitionen

Differenzierbarer Atlas

Sei ein topologischer Raum. Eine Karte ist ein Paar bestehend aus einer in offenen Teilmenge und einem Homöomorphismus .

Die Grafik illustriert einen Kartenwechsel der Karten und . Der große Kreis symbolisiert den topologischen Raum und die zwei unteren kleineren Kreise symbolisieren Teilmengen des .

Ein Atlas für ist dann eine Familie von Karten, so dass

gilt. (I ist eine Indexmenge.) Zwei Karten und heißen kompatibel, wenn die Kartenwechselabbildung

ein - Diffeomorphismus ist. Ein Atlas heißt dann -differenzierbarer Atlas mit , wenn für alle die Karten und kompatibel mittels -Diffeomorphismen sind.

Differenzierbare Struktur

Zwei -differenzierbare Atlanten sind äquivalent, wenn alle ihre Karten miteinander kompatibel sind. Diese Äquivalenzklasse von Atlanten bezüglich dieser Äquivalenzrelation wird -differenzierbare Struktur der Mannigfaltigkeit genannt. Ist , so spricht man auch von einer glatten Struktur.

Differenzierbare Mannigfaltigkeit

Eine -mal differenzierbare Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Hausdorffraum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, zusammen mit einer -differenzierbaren Struktur. Die differenzierbare Mannigfaltigkeit hat die Dimension , wenn eine Karte und damit alle Karten in eine Teilmenge des abbilden.

Glatte Mannigfaltigkeit

Eine glatte Mannigfaltigkeit ist ebenfalls ein topologischer Hausdorffraum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, zusammen mit einer glatten Struktur.

Auf glatten Mannigfaltigkeiten kann man Funktionen auf Glattheit untersuchen, was natürlich bei -mal differenzierbaren Mannigfaltigkeiten nicht möglich ist, da dort eben der Kartenwechsel nur -mal differenzierbar ist und man deshalb jede Funktion auf der Mannigfaltigkeit nur höchstens -mal differenzieren kann. Oftmals betrachten Differentialgeometer nur die glatten Mannigfaltigkeiten, da man für diese etwa dieselben Resultate erhält wie für die -mal differenzierbaren, aber nicht verwalten muss, wie oft man die Kartenwechsel noch differenzieren darf.

Komplexe Mannigfaltigkeit

Komplexe Mannigfaltigkeiten sind ebenfalls glatt, allerdings mit dem Zusatz, dass die Kartenwechsel zusätzlich biholomorph sind.