Optický hranol

Lom světla optickým hranolem

Lom hranolem.

Při průchodu optickým hranolem se světelný paprsek láme dvakrát. Paprsek, který vystupuje z hranolu je od vstupujícího paprsku odchýlen o úhel ${\displaystyle \delta }$. Tato odchylka je závislá na úhlu dopadu ${\displaystyle \alpha _{1}}$, indexu lomu materiálu hranolu a na úhlu ${\displaystyle \omega }$, který se nazývá lámavý. Tento úhel je sevřen tzv. lámavými stěnami hranolu.

Z obrázku a podle Snellova zákona budou platit vztahy

${\displaystyle \sin \alpha _{1}=n\,\sin \beta _{1}}$

${\displaystyle \sin \alpha _{2}=n\,\sin \beta _{2}}$

kde ${\displaystyle n}$ označuje index lomu hranolu. Pro odchylku ${\displaystyle \delta }$ platí

${\displaystyle \delta =(\alpha _{1}-\beta _{1})+(\alpha _{2}-\beta _{2})=\alpha _{1}+\alpha _{2}-\omega }$,

neboť platí ${\displaystyle \omega =\beta _{1}+\beta _{2}}$.

Pro malý lámavý úhel ${\displaystyle \omega }$ jsou malé také úhly ${\displaystyle \alpha _{1}}$ a ${\displaystyle \alpha _{2}}$. Takový hranol se nazývá optický klín. Pro optický klín mají předchozí rovnice přibližný tvar ${\displaystyle \alpha _{1}=n\beta _{1}}$ a ${\displaystyle \alpha _{2}=n\beta _{2}}$, což umožňuje psát

${\displaystyle \delta =(n-1)\omega }$

Pro malý lámavý úhel ${\displaystyle \omega }$ tedy odchylka ${\displaystyle \delta }$ nezávisí na úhlu dopadu ${\displaystyle \alpha _{1}}$.

Při větších lámavých úhlech však nelze nahradit sinus přímo jeho úhlem. Pokud vyjádříme odchylku ${\displaystyle \delta }$ jako funkci úhlu lomu ${\displaystyle \beta _{1}}$, dostaneme vztah

${\displaystyle \delta =\arcsin(n\,\sin \beta _{1})-\arcsin \left[n\,\sin(\beta _{1}-\omega )\right]-\omega }$

Derivací tohoto vztahu podle úhlu lomu ${\displaystyle \beta _{1}}$ určíme extrémy, tzn.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \delta }{\mathrm {d} \beta _{1}}}={\frac {n\,\cos \beta _{1}}{\sqrt {1-n^{2}\sin ^{2}\beta _{1}}}}-{\frac {n\,\cos(\beta _{1}-\omega )}{\sqrt {1-n^{2}\sin ^{2}(\beta _{1}-\omega )}}}=0}$

Odtud po úpravě získáme podmínku

${\displaystyle (n^{2}-1)[\sin ^{2}\beta _{1}-\sin ^{2}(\beta _{1}-\omega )]=(n^{2}-1)\sin \omega \,\sin(2\beta _{1}-\omega )=0}$

Z této podmínky vyplývá, že odchylka ${\displaystyle \delta }$ má nejmenší hodnotu pro ${\displaystyle 2\beta _{1}=\omega }$, což podle předchozích vztahů znamená, že nejmenší odchylka se objeví pro

${\displaystyle \beta _{1}={\frac {\omega }{2}}=-\beta _{2}\;,\alpha _{2}=-\alpha _{1}}$

Minimální odchylku tedy získáme tehdy, pokud je paprsek procházející hranolem kolmý k ose souměrnosti lámavého úhlu ${\displaystyle \omega }$.

Pří minimální odchylce ${\displaystyle \delta _{m}}$ bude platit vztah ${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {\omega +\delta _{m}}{2}}}$. Použitím předchozích vztahů lze pak určit

${\displaystyle \sin {\frac {\omega +\delta _{m}}{2}}=n\,\sin {\frac {\omega }{2}}}$

Tento vztah lze využít pro určení indexu lomu materiálu hranolu.

Totální reflexe na hranolu.

U hranolů lze často pozorovat totální reflexi. Tento jev je často využíván např. k převrácení obrazu v dalekohledu apod.

Na hranolu lze také demonstrovat disperzi světla.