Monotónní funkce

Příklad monotonní funkce

Monotonie je vlastnost, označující, zda je funkce v bodě či na daném intervalu monotónní, tzn. zda je konstantní, rostoucí, klesající, příp. nerostoucí, či neklesající.

Tato vlastnost bývá někdy označována jako monotonnost, popř. monotonicita.

Monotonie lokální (v bodě): Funkce je v bodě a rostoucí, jestliže existuje nějaké okolí U(a) bodu a takové, že pro všechna v tomto okolí platí:

.

Obdobně je funkce klesající, pokud

,

nerostoucí pro

,

a neklesající pro

.

Monotonie globální (na intervalu): Funkce je na intervalu rostoucí, jestliže pro všechna z tohoto intervalu platí:

.

Obdobně je funkce na klesající, pokud

,

nerostoucí pokud

,

a neklesající pokud

.

Na obrázku je funkce rostoucí (a zároveň neklesající) například v intervalu , klesající (a zároveň nerostoucí) například v intervalu .

Monotónní funkce

Mezi monotónní funkce řadíme funkce:

  • konstantní funkce, tzn. pro každé z definičního oboru funkce platí
  • rostoucí funkce, tzn. pro každé z definičního oboru funkce platí
  • klesající funkce, tzn. pro každé z definičního oboru funkce platí
  • neklesající funkce, tzn. pro každé z definičního oboru funkce platí
  • nerostoucí funkce, tzn. pro každé z definičního oboru funkce platí

Rostoucí a klesající funkce označujeme jako ryze monotonní na daném intervalu. Interval, na kterém je funkce ryze monotónní, se nazývá interval monotonie.

K vyšetření monotonie funkce v bodě lze využít první derivace funkce (pokud existuje), přičemž platí následující implikace (které nelze obrátit):

  • Jestliže , pak je v bodě rostoucí.
  • Jestliže , pak je v bodě klesající.
  • Jestliže je v bodě neklesající, pak .
  • Jestliže je v bodě nerostoucí, pak .
Jiné Jazyky
العربية: دالة رتيبة
azərbaycanca: Artan funksiya
Esperanto: Monotona funkcio
íslenska: Einhalla fall
日本語: 単調写像
한국어: 단조함수
Nederlands: Monotone functie
português: Função monótona
srpskohrvatski / српскохрватски: Monotonost funkcije
Simple English: Monotonic function
slovenčina: Monotónna funkcia
slovenščina: Monotonost
українська: Монотонна функція
Tiếng Việt: Hàm số đơn điệu
中文: 单调函数