Reticle (ordre)

Diagrama de Hasse del reticle de particions del conjunt{1,2,3,4}.

En matemàtica, un reticle és una determinada estructura algebraica amb dues operacions binàries, o bé un conjunt parcialment ordenat amb certes propietats específiques (sent equivalents ambdós enfocaments). El terme "reticle" ve de la forma dels diagrames de Hasse d'aquestes ordres.

Definició com a conjunt ordenat

En teoria de conjunts, un reticle , xarxa o lattice és un conjunt parcialment ordenat en el qual per a cada parell d'elements hi ha un suprem i un ínfim, això és:

Un conjunt parcialment ordenat ( L , ≤) es denomina reticle si satisfà les següents propietats:

Existència del suprem per parells
Per a qualssevol dos elements a i b de L , el conjunt{ a, b }té un suprem : (també conegut com mínima fita superior, o join en idioma anglès).
Existència del ínfim per parells
Per a qualssevol dos elements a i b de L , el conjunt{ a, b }té un ínfim : (també conegut com màxima cota inferior, o meet en idioma anglès).

El suprem i l'ínfim de a i b es denoten per i , respectivament, el que defineix a i com operacions binàries. El primer axioma diu que L és un semireticle superior, el segon que L és un semireticle inferior. Ambdues operacions són monòtones pel que fa a l'ordre: a 1a 2 i b 1b 2 implica que a 1 b 1 ≤ a 2 b 2 ja 1 b 1 ≤ a 2 b 2 .

Se segueix per inducció matemàtica que per tot subconjunt finit no buit d'un reticle hi ha un suprem i un ínfim.

Noteu que encara en un conjunt parcialment ordenat ( L , ≤) arbitrari, l'existència d'algun suprem (o ínfim) z per a un subconjunt finit no buit S de L implica que aquest suprem ( o ínfim) z és únic, ja que d'existir dues o més cotes superiors (o inferiors) de S que siguin incomparables entre si, el suprem (o ínfim) per definició no existeix.