Polinomi ciclotòmic

En matemàtiques i més particularment en àlgebra, es diu polinomi ciclotòmic (del grec κυκλας «cercle» i τομη «tall») tot polinomi mínim d'una arrel de la unitat i amb coeficients en un cos primer. Un cos primer és un cos engendrat per la unitat de la multiplicació. Els polinomis així obtinguts són també els que apareixen en la descomposició dels polinomis en producte de factors irreductibles.

Sobre el cos dels racionals un polinomi ciclotòmic té propietats fortes, és un polinomi amb coeficients enters, de grau igual a φ(n) si l'arrel considerada és una arrel primitiva n-èsima de la unitat, on φ designa la funció Fi d'Euler. Les arrels del polinomi ciclotòmic són totes les arrels primitives n-èsimes de la unitat.

En el context dels cossos de característica finita, cal referir-se a la teoria de Galois, on semblen essencials, ja que tot polinomi irreductible és un polinomi ciclotòmic (a excepció del monomi unitari de grau u).

D'una manera general, el cos de descomposició anomenat també extensió ciclotòmica associada és una extensió abeliana.

L'anàlisi d'aquests polinomis permet la resolució de nombrosos problemes. Històricament, la construcció dels polígons regulars amb regle i compàs és el que va dur al desenvolupament del concepte. Són àmpliament utilitzats en la teoria de Galois, per a la resolució d' equacions polinòmiques i la comprensió de l'estructura de les extensions abelianes. Són també al nucli de la criptografia per al disseny de codis correctors.

Història

Naixement del concepte

El tractat d'anàlisi dels polinomis ciclotòmics

Carl Friedrich Gauss ( 17771855) utilitza en les seves Disquisitiones arithmeticae, aparegudes el 1801, els polinomis cilotòmics. Aporta una contribució principal a un problema obert des de l'Antiguitat: el de la construcció amb regle i compàs de polígons regulars. Aquests treballs serveixen de referència durant tot el segle. En aquest text, Gauss determina amb exactitud la llista dels polígons construïbles, i dóna un mètode efectiu per a la seva construcció fins a 256 costats. La fi de la problemàtica és tractada per Pierre-Laurent Wantzel ( 18141848) en un article [1] d'ara endavant cèlebre.

Aquest enfocament és innovador i, en molts aspectes, prefigura l'àlgebra moderna:

Un polinomi ja no apareix com un objecte en si sinó com un element d'un conjunt estructurat. Si bé la noció d' anell dels polinomis encara es formalitza, descobreix la seva estructura euclidiana la qual representa l'eina de base de l'anàlisi de Gauss.

La resolució efectiva de l'equació ciclotòmica el porta a considerar una estructura finita: la de les permutacions de les arrels. Se les anomena període de Gauss. Les seves propietats algebraiques permeten trobar la solució. Aquest enfocament prefigura la utilització de la teoria de grups en àlgebra i la teoria de Galois.

Apareixen noves estructures. La divisió euclidiana introdueix la noció de residu i el seu conjunt té propietats algebraiques fortes. Aquesta estructura es considera com un cas particular de cos finit si el divisor és un nombre primer. Gauss posa en evidència tals conjunts i fa servir el transport d'estructura per morfisme entre dos anells per mostrar el caràcter irreductible dels polinomis ciclotòmics. Al mateix llibre, fa servir aquestes mateixes estructures per resoldre un altre problema que havia presentat Fermat ( 16011685) i formalitzat Euler ( 17071783) el de la llei de reciprocitat quadràtica.

A partir d'aquí apareixen nombroses aplicacions. La utilització de la geometria no es limita a la construcció amb el regle i el compàs. El polinomi ciclotòmic d'índex quatre permet la construcció d'un nou conjunt de nombres algebraics el dels enters de Gauss. Neix una branca de la matemàtica: la teoria algebraica dels nombres, que simplifica la resolució d' equacions diofàntiques i permet resoldre'n de noves.

Polinomi ciclotòmic i equació algebraica

La cerca de solucions a l' equació polinòmica és un problema que es retrotrau als primers desenvolupaments sobre els polinomis pels matemàtics de llengua àrab. Se cita generalment Muhàmmad ibn Mussa al-Khwarazmí (783– 850) com a precursor [2] amb la resolució de sis equacions canòniques, després Gerolamo Cardano ( 15011576) per a la resolució del cas de grau tres [3] i Lodovico Ferrari ( 15221565) per al quart grau. El cas general va continuar sent durant molt de temps misteriós.

Joseph-Louis Lagrange ( 17361813) comprèn que la resolució d'aquest problema general està íntimament vinculada a les propietats de les permutacions de les arrels. [4] El cas particular dels polinomis ciclotòmics l'il·lustra. El grup de les bones permutacions, avui anomenat grup de Galois, és no només commutatiu sinó a més cíclic. Aquesta propietat, utilitzada a través del concepte dels períodes de Gauss, permet una resolució efectiva per a aquest cas particular.

Una anàlisi més profunda feta per Paolo Ruffini [5] ( 17651822), Niels Henrik Abel [6] ( 18021829) i sobretot per Evariste Galois [7] ( 18111832) mostra que l'aspecte commutatiu del grup és de fet una condició suficient. Per ser precisos, la condició indica que el grup ha de ser descomponible en una successió de grups encaixats commutatius. La qüestió natural que es planteja llavors és de determinar les extensions del cos dels racionals dels quals el grup de Galois és commutatiu. Aquestes extensions s'anomenen extensions abelianes. L'estructura de cos associada al polinomi ciclotòmic, anomenada extensió ciclotòmica, n'és un exemple. Que sigui única significa que tota equació algebraica resoluble per radicals es redueix d'una manera o una altra a un polinomi ciclotòmic. La resposta és positiva: tota extensió abeliana del cos dels racionals és un subcos d'una extensió ciclotòmica. Aquest resultat ha necessitat gairebé mig segle d'esforç per poder ser demostrat. [8] Els artesans principals foren Leopold Kronecker ( 18231891) i Heinrich Weber ( 18421913).

Si bé l'anàlisi de les extensions abelianes finites s'acaba amb el segle XIX, deixa obert un ampli camp de qüestions, per exemple en aritmètica. Llavors sembla necessari de generalitzar la noció de cos ciclotòmic sobre les extensions infinites. La qüestió la planteja [9] David Hilbert ( 18621943). Aquest eix d'investigació s'anomena la teoria dels cossos de classe. Aquesta teoria és una de les més fructuoses al segle XX. Es pot citar per exemple el teorema de reciprocitat [10] d' Emil Artin ( 18981962) que resol el novè dels problemes de Hilbert, o més recentment, dos llorejats de la medalla Fields per als seus treballs sobre generalitzacions de la teoria: Volodímir Drínfeld el 1990 o Laurent Lafforgue el 2002.

Cos finit

El desenvolupament de l'esbós de la teoria dels cossos finits iniciat per Gauss demana més temps. Al final del segle XIX la teoria de grups fa aparèixer la necessitat de treballar sobre altres extensions a més de la dels nombres racionals. La representació dels groupes [11] porta a Frobenius ( 18491917) a l'estudi dels cossos de característica finita. Són els cossos on la suma iterada de la unitat acaba sent igual a zero. Una anàlisi, amb l'ajuda de la teoria de Galois mostra que, en aquest context, la teoria dels cossos finits és essencial. Amb el seu coneixement n'hi ha prou per a la comprensió de l'estructura dels polinomis ciclotòmics en el cas de característica finita.

L'anàlisi d'aquests cossos es fa ràpid, sobretot gràcies a l'aportació de l'escola americana. Al començament del segle XX, els treballs de Leonard Dickson ( 1874- 1954) després de Joseph Wedderburn ( 1882- 1948) posen en evidència la seva estructura. Dickson publica [12] el primer estudi sistemàtic i Wedderburn demostra el 1905 el seu teorema que estipula que tot cos finit és abelià. Els polinomis ciclotòmics són essencials, ja que formen el conjunt dels polinomis irreductibles (a excepció del monomi unitari de grau u: X). Sobre tots els cossos de característica finita, totes les extensions finites són ciclotòmiques.

Durant la segona meitat del segle XX un nou camp d'investigació utilitza els cossos finits, la criptografia. Si bé la seguretat d'un codi no requereix la utilització dels polinomis ciclotòmics, per altra banda la fiabilitat, és a dir la capacitat per corregir els errors utilitza els polinomis, es parla llavors de codi corrector. Aquest tipus de codi, per ser òptim, utilitza els cossos finits i els polinomis ciclotòmics. Es pot citar per exemple el codi de Hamming o en un cas més general els codis que permeten un control de redundància cíclica.