Polinomi ciclotòmic

En matemàtiques i més particularment en àlgebra, es diu polinomi ciclotòmic (del grec κυκλας «cercle» i τομη «tall») tot polinomi mínim d'una arrel de la unitat i amb coeficients en un cos primer. Un cos primer és un cos engendrat per la unitat de la multiplicació. Els polinomis així obtinguts són també els que apareixen en la descomposició dels polinomis en producte de factors irreductibles.

Sobre el cos dels racionals un polinomi ciclotòmic té propietats fortes, és un polinomi amb coeficients enters, de grau igual a φ(n) si l'arrel considerada és una arrel primitiva n-èsima de la unitat, on φ designa la funció Fi d'Euler. Les arrels del polinomi ciclotòmic són totes les arrels primitives n-èsimes de la unitat.

En el context dels cossos de característica finita, cal referir-se a la teoria de Galois, on semblen essencials, ja que tot polinomi irreductible és un polinomi ciclotòmic (a excepció del monomi unitari de grau u).

D'una manera general, el cos de descomposició anomenat també extensió ciclotòmica associada és una extensió abeliana.

L'anàlisi d'aquests polinomis permet la resolució de nombrosos problemes. Històricament, la construcció dels polígons regulars amb regle i compàs és el que va dur al desenvolupament del concepte. Són àmpliament utilitzats en la teoria de Galois, per a la resolució d'equacions polinòmiques i la comprensió de l'estructura de les extensions abelianes. Són també al nucli de la criptografia per al disseny de codis correctors.