Moviment harmònic complex

Un moviment harmònic complex és un moviment superposició lineal de moviments harmònics simples. Encara que un moviment harmònic simple és sempre periòdic, un moviment harmònic complex no necessàriament és periòdic, encara que sí que pot ser analitzat mitjançant una anàlisi harmònica de Fourier. Un moviment harmònic complex és periòdic només si és la combinació de moviments harmònics simples les freqüències són totes múltiples racionals d'una freqüència base.

Cinemàtica d'un moviment harmònic complex

Un sistema que presenta oscil·lacions harmòniques amb n graus de llibertat en general té elongacions X i o moviments al llarg de direccions independents de la forma:

( 1a)

O més detalladament:

( 1b)

On, són les freqüències pròpies del sistema, les fases inicials. Cadascun dels vectors columna de la matriu A se'n diu manera pròpia de vibració, i els C i són les amplituds relatives de cada mode propi. Es pot veure que per a n = 1 un moviment harmònic complex és simplement una suma de moviments harmònics simples:

La velocitat i l'acceleració d'un moviment harmònic complex general s'obtenen derivant respecte al temps i també resulten ser moviments harmònics complexos, composició de moviments de les mateixes freqüències pròpies. Encara que ara no tenen per què existir punts de velocitat zero, com passa en el moviment harmònic simple.

Periodicitat

Un moviment es diu periòdic quan es repeteix a intervals regulars de temps, és a dir, si després de cert interval de temps constant, torna a passar per la mateixa posició i amb la mateixa velocitat. La periodicitat requereix que el vector de posicions x (t) = x (t + T) per a tot t i per algun valor de T. Per al cas d'un moviment harmònic complex com ( 1a) això requereix que, per a tot i,

La periodicitat només és possible si per a qualssevol freqüències el seu quocient és un nombre racional. Sent com és que els nombres racionals són un conjunt de mesura zero o conjunt nul, la probabilitat que el quocient de totes les freqüències sigui un nombre racional és zero i, per tant, els moviments harmònics complexos reals són quasi periòdics, però no periòdics.

Equació de moviment

El moviment harmònic complex donat per ( 1a) o ( 1b) és solució d'una equació d'un problema de petites vibracions del tipus:

On:

, és l'anomenada matriu de massa que representa la inèrcia del sistema.
, és l'anomenada matriu de rigidesa que representa la intensitat de les forces de recuperació i són tant grans com més rígid sigui el sistema.

En el cas més general d'un sistema amb esmorteïment lineal i força d'excitació interna l'equació de moviment és més general:

On s'ha afegit una matriu que dóna compte de l'amortiment.