Anàlisi harmònica

L'anàlisi harmònica o anàlisi de Fourier, és la branca de les matemàtiques que estudia la representació de les funcions o dels senyals com a superposició d'ones de base. Aprofundeix i generalitza les nocions de sèrie de Fourier i de transformada de Fourier. Les ones de base es diuen les harmòniques, d'on pren el nom de la disciplina. Durant aquests dos últims segles, ha tingut nombroses aplicacions en física sota el nom d' anàlisi espectral, i s'han obtingut aplicacions recents sobretot en tractament del senyal, mecànica quàntica, neurociències, estratigrafia...

L'anàlisi harmònica, històricament havia estat vinculada al desenvolupament de la teoria de les sèries de Fourier, ha rebut un conjunt de generalitzacions modernes, sobretot gràcies als treballs de l'escola russa de Guelfand, que la situa en un context molt general i abstracte: per exemple l'anàlisi harmònica sobre els grups de Lie.

Sèries i transformades de Fourier

Les sèries de Fourier es fan servir per a descompondre una funció periòdica f com una «suma infinita de funcions trigonomètriques» de freqüències múltiples d'una freqüència fonamental. Al principi, es procedeix a l'anàlisi del «contingut en freqüències», anomenat espectre, de la funció. Després, seguint les hipòtesis fetes sobre la funció i el marc d'anàlisi escollit, es poden fer servir diversos teoremes que permeten recompondre f.

Un bon marc d'estudi per a les sèries de Fourier és el dels espais de Hilbert, el qual subministra a una relació entre anàlisi harmònica i anàlisi funcional.

La transformada de Fourier generalitza la teoria de les sèries de Fourier a les funcions no periòdiques, i permet associar-les també un espectre de freqüències. Llavors s'intenta descompondre una funció qualsevol en «suma infinita de funcions trigonomètriques» de totes les freqüències. Aquesta mena de sumatori es presentarà doncs en forma d'integral.

La transformada de Fourier clàssica sobre Rn és encara un àmbit de recerca actiu, en particular la transformació de Fourier sobre objectes més generals com les distribucions. Per exemple, si s'imposen restriccions a una distribució f, es poden traduir sobre la seva transformada de Fourier. El teorema de Paley-Wiener n'és un exemple. Aquest teorema té com a conseqüència immediata que si f és una distribució no nul·la amb suport compacte, llavors la seva transformada de Fourier no és mai amb suport compacte. És una forma elemental de les relacions d'incertesa de Heisenberg.

Altres idiomes