دالة مميزة (نظرية احتمالات)

English: Characteristic function (probability theory)

خصائص الدالة المميزة

• تحدد الدالة المميزة طبيعة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي في حالة تساوي دالتين، يعني في حالة تساوي دالتين مميزتين ${\displaystyle \phi _{X}=\phi _{Y}\,}$ نستنتج أن للمتغيران ${\displaystyle X\,}$ et ${\displaystyle Y\,}$ نفس دالة التوزيع الاحتمالي.

• إذا كان X و Y متغيران عشوائيان مستقلان، إذا ${\displaystyle \phi _{X+Y}=\phi _{X}\,\phi _{Y}}$.

بشكل أعم، إذا كان ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ مجموعة من المتغيرات العشوائية المستقلة عن بعضها البعض، فإن

${\displaystyle \phi _{X_{1}+\cdots +X_{n}}=\phi _{X_{1}}\cdots \phi _{X_{n}}}$

وبتطبيق معكوسة تحويل فورييه لـ ${\displaystyle \phi _{X+Y}}$ نتحصل على قانون دالة التوزيع الاحتمالي للدالة X+Y

• توجد أيضا علاقة بين الدالة المميزة و دالة العزوم لمتغير عشوائي، ففي حالة وجود دالة العزوم بالإضافة إلى تقارب المتتالية فإن:

${\displaystyle \phi _{X}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}\mu _{k}}{k!}}t^{k}}$ أين ${\displaystyle \mu _{k}}$ هو عزم ذو درجة k .

تستعمل هذه العلاقة أحيانا لإيجاد المتوسط الحسابي (الذي يمثل العزم ذو درجة 1) والتباين (الذي يمثل العزم ذو درجة 2) حيث أن:

${\displaystyle 1=\phi _{X}(0),\qquad \mathbb {E} [X]=-i\,\phi _{X}^{\prime }(0),\qquad \mathbb {E} \left[X^{2}\right]=-\,\phi _{X}^{\prime \prime }(0)}$

${\displaystyle {\textrm {Var}}(X)=-\,\phi _{X}^{\prime \prime }(0)+\phi _{X}^{\prime 2}(0)}$.

• مثلا العلاقة التالية تستعمل في حساب الدالة المميزة لمتغير عشوائي ذو توزيع احتمالي طبيعي موسط ومخزل :

${\displaystyle \phi _{aX+b}(t)=\phi _{X}(at)\,e^{itb}}$