القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

في هذا shear mapping السهم الأحمر يغير اتجاهه بينما السهم الأزرق لم يغير اتجاهه. إذن ، السهم الأزرق هو متجهة ذاتية, مع قيمة ذاتية مساوية ل 1 بما أن طول المتجهة واتجاهها لم يتغيرا.

القيمة الذاتية، ( قد تسمى القيمة الممتلكة أو القيمة الفطرية) (بالإنجليزية: eigenvalue) والمتجه الذاتي (بالإنجليزية: eigenvector) والفضاء الذاتي (بالإنجليزية: eigenspace) في الرياضيات هي اصطلاحات متعلقة بالجبر الخطي. البادئة eigen مشتقة من الألمانية[؟] (تلفظ «أيْ-غِن») وتعني متأصل أو ذاتي أو خاص.

يهتم الجبر الخطي بدراسة التحويلات الخطية، والتي تمثلها مصفوفات[؟] مؤثرة على متجهات. تعد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية والفراغات الذاتية خواص المصفوفة. يتم حسابها بواسطة طريقة تعطي معلومات عن المصفوفة ويمكن استعمالها في تفكيك المصفوفة. لهذا النوع تطبيقاته الخاصة في مجالات الرياضيات التطبيقية وبشكل أوسع في التمويل وميكانيكا الكم.

عموماً، تؤثر مصفوفة على متجه بتغيير كلاً من قيمته[؟] واتجاه[؟]ه. لكن يمكن أن تؤثر المصفوفة على بعض المتجهات بتغيير قيمها مع الإبقاء على اتجاهاتها دون تغيير (أو ربما عكسها). تمثل هذه المتجهات متجهات ذاتية للمصفوفة. تؤثر مصفوفة على متجه ذاتي بضرب قيمته بعامل معين، والذي يكون موجباً عندما لايتغير اتجاهه وسالباً إن انعكس الاتجاه. يمثل هذا العامل القيمة الذاتية المصاحبة لذلك المتجه الذاتي. يكون الفضاء الذاتي مجموعة كل المتجهات الذاتية التي لها نفس القيمة الذاتية، معاً ومع المتجه الصفري. لا يمكن تعريف المفهوم بشكل رسمي بدون متطلبات أساسية، بما فيها فهم المصفوفات والمتجهات والتحويلات الخطية.

بتعبير رسمي، إذا كانت A مصفوفة مربعة الشكل، فإن متجها لا صفريا x يكون متجها ذاتيا لA إذا وجد عدد λ حيث

يسمى العدد λ قيمة ذاتية لA تقابل المتجه الذاتيx.

تعريف

المتطلبات والهدف

تعمل المصفوفة A على تمديد المتجهة x, وليس على تغير اتجاهها, إذن x هي متجهة ذاتية للمصفوفة A.

مثال

مصفوفة التحويل تحافظ على المتجهات الموازية ل (باللون الأزرق) و باللون البنفسجي. النقط التي تقع على المستقيم المار من مركز المعلم, الموازي لمتجهة ذاتية, تبقى على هذا المستقيم بعد التحويل. المتجهات المبينة باللون الأحمر ليست متجهات ذاتية, هكذا، تغير اتجاهها بعد التحويل.

بالنسبة للمصفوفة A

المتجهة

هي متجهة ذاتية بقيمة ذاتية مساوية ل 1. يظهر ذلك من خلال ما يلي.

من جهة ثانية، المتجهة

ليست متجهة ذاتية بما أن

وهاته المتجهة ليست مضاعفا للمتجهة الأصلية x.

تعريف رسمي

En otros idiomas
беларуская: Уласны вектар
беларуская (тарашкевіца)‎: Уласныя лікі, вэктары і прасторы
עברית: ערך עצמי
Bahasa Indonesia: Nilai dan vektor Eigen
íslenska: Eigen gildi
日本語: 固有値
한국어: 고윳값
norsk: Egenvektor
slovenščina: Lastna vrednost
українська: Власний вектор
اردو: ویژہ قدر
Tiếng Việt: Vectơ riêng
粵語: 特徵向量