Wronskiano

En matemática, el wronskiano es un determinante introducido en 1812[2] por el matemático escocés Thomas Muir (1844 – 1934). Se utiliza en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias, donde a veces puede ser utilizado para mostrar que un conjunto de soluciones es linealmente independiente.

Dado un conjunto de n funciones que son (n-1)-veces derivables, f1, ..., fn, el wronskiano W(f1, ..., fn) está dado por:

El wronskiano es el determinante de la matriz construida al colocar las funciones en el primer renglón (o fila), la primera derivada de cada función en el segundo renglón, y así hasta la derivada n-1, formando así una matriz cuadrada, algunas veces llamada matriz fundamental.

En una ecuación diferencial lineal de segundo orden, el wronskiano puede ser calculado por computadora más fácilmente por la identidad de Abel.

El wronskiano y dependencia lineal (DAMA)

El wronskiano puede usarse para determinar si un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo dado:

  • si el wronskiano es distinto de cero en algún punto de un intervalo, entonces las funciones asociadas son linealmente independientes en el intervalo.

Esto es útil en muchas situaciones. Por ejemplo, si queremos verificar si dos soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden son independientes, quizás podamos usar el wronskiano. Notése que si el wronskiano es cero uniformemente sobre el intervalo, las funciones pueden ser o no ser linealmente independientes.

  • si un conjunto de funciones es linealmente dependiente en un intervalo, esto implica obligatoriamente que el wronskiano correspondiente es uniformemente cero en el intervalo, pero lo segundo no implica lo primero.

Una malinterpretación común (desafortunadamente promulgada en muchos textos) es que si en cualquier lugar, implica una dependencia lineal - lo que es incorrecto. Sin embargo si ... son funciones analíticas y en todas partes, entonces ... son linealmente dependientes.

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