Variedad topológica

En matemáticas, una variedad topológica es un espacio topológico que localmente tendrá la estructura topológica de , en un sentido precisado más abajo. De este modo una variedad heredará muchas de las propiedades locales del espacio euclídeo, pero no las globales. Será necesario añadir condiciones globales a la definición para evitar la aparición de ejemplos considerados patológicos.

Así, si sólo exigimos la condición de ser localmente euclídeo, aparecerán espacios no Hausdorff o ejemplos de espacios que no verifican el segundo axioma de numerabilidad y no son metrizables (como la línea larga o la superficie de Prüfer). Para evitar todo esto, suelen incluirse dos condiciones más en la definición de variedad topológica.

Definición formal

Una variedad topológica de dimensión n es un espacio topológico al que exigiremos:

  1. Ser localmente euclídeo (i.e. para cada punto existe un abierto U, entorno de x, homeomorfo mediante a un abierto V de ).
  2. Ser Hausdorff ().
  3. Verificar el segundo axioma de numerabilidad (ANII).

Observaciones sobre la definición:

  • Como hemos mencionado antes, la condición 2) es necesaria, pues 1) no implica 2). Aunque en algunos casos aparecen variedades no Hausdorff (espacios totales de un haz), usualmente los autores asumen la condición 2).
  • Hay autores que no incluyen la condición 3), en ese caso se pierden algunas propiedades deseables, como ser metrizable, pues para un espacio que verifique solamente 1) y 2) son equivalentes:
    • Cada componente de es ANII.
    • es metrizable.
    • es paracompacto.
  • Un teorema de Whitney nos dice que en caso de incluir 2) y 3) en la definición de variedad, entonces nuestra idea de variedad topológica coincidirá con la de subvariedad de algún .
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