Variedad diferenciable

En geometría y topología, una variedad diferenciable es un tipo especial de variedad topológica, a la que podemos extender las nociones de cálculo diferencial que normalmente usamos en . En una variedad diferenciable M podremos definir lo que es una función diferenciable , y campos de tensores diferenciables (incluidos campos de vectores). El estudio del cálculo en variedades diferenciables se conoce como geometría diferencial.

Introducción

Para un desarrollo informal del tema

Generalización de los conceptos de curva y superficie

Una variedad diferenciable representa una generalización, en dos aspectos básicos, del concepto de superficie diferenciable:

  • Supone la generalización a cualquier número de dimensiones. En dimensión 1, una variedad es una curva. En dimensión 2, una superficie sería un ejemplo de variedad.
  • Supone otra generalización al intentar definir una variedad de modo intrínseco. Por ejemplo, una curva o una superficie suelen describirse embebidas en un espacio ambiente R³, pero podrían describirse sin hacer alusión a él. Es más, existen casos de variedades de dimensión 2 que no podrán verse embebidas en un espacio euclídeo de dimensión 3 (pero sí de dimensión superior).

Antes de hacer la segunda generalización, podríamos pensar que una variedad es diferenciable, informalmente hablando, si cada uno de sus puntos tiene espacio tangente, es decir, no tiene "picos" ni "filos". Pero para hacer una definición formal necesitaremos que esta no haga alusión a un posible embebimiento de la variedad en un espacio ambiente.

Un poco de historia

Riemann, en el siglo XIX, observó la importancia de definir la noción de variedad de un modo intrínseco, sin requerir que el espacio topológico subyacente estuviera embebido en un espacio afín. La definición formal precisa fue introducida por primera vez por Hermann Weyl en 1913.

Las variedades diferenciables aparecen en diversos campos de la Física:

  • En relatividad general, el espacio (de dimensión 3) y el tiempo forman una variedad de dimensión 4 llamada espacio-tiempo.
  • Muchas teorías modernas, como la teoría de cuerdas, operan en una variedad de dimensión mayor que 4.
  • En mecánica clásica, para describir la situación de un sólido rígido en el espacio se necesitan 6 parámetros (3 que describan la posición de su centro de masas y otros 3 que corresponden a los grados de libertad rotacional). Una situación concreta de un sólido quedará descrita como un punto en una variedad diferenciable de dimensión 6, que se denomina espacio de configuración del sólido rígido.

Conceptos previos de variedades topológicas

Recordemos los conceptos de variedad topológica y de cartas:

  • Una variedad topológica de dimensión es un espacio topológico (que suele suponerse Hausdorff y ANII) en el que para cada existe un entorno abierto homeomorfo a un abierto de mediante .
  • Un par bajo estas condiciones se denomina carta o sistema coordenado sobre para , y la aplicación se denomina aplicación coordenada para .
  • Cada aplicación coordenada se podrá desglosar como un conjunto de n funciones coordenadas : en efecto, si para cada convenimos en representar por a la función que a cada le hace corresponder (es decir, la -ésima coordenada de ), denominaremos a la aplicación como la función coordenada para .

Podríamos cuestionarnos cómo sería posible determinar si una función definida en una variedad topológica es una función diferenciable. Aparentemente bastaría exigir que , su expresión en un entorno coordenado sea diferenciable. Pero esta condición no sería consistente si realizamos un cambio de carta. En efecto, si observamos su expresión en otra carta:

,

necesitaremos para mantener la consistencia que el cambio de cartas representado por el último paréntesis sea diferenciable. Esta exigencia es la base de la definición de estructura diferenciable.

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