Variedad de Riemann

Ejemplo de variedad de Riemann bidimensional con un sistema de coordenadas ortogonales definido sobre ella, y varias subvariedades curvas de la misma.

En la geometría de Riemann, una variedad de Riemann es una variedad diferenciable real en la que cada espacio tangente se equipa con un producto interior de manera que varíe suavemente punto a punto. Esto permite que se definan varias nociones métricas como longitud de curvas, ángulos, áreas (o volúmenes), curvatura, gradiente de funciones y divergencia de campos vectoriales.

Introducción

Una variedad de Riemann es una generalización del concepto métrico, diferencial y topológico del espacio euclidiano a objetos geométricos que localmente tienen la misma estructura que el espacio euclidiano pero globalmente pueden representar forma "curva". De hecho, los ejemplos más sencillos de variedades de Riemann son precisamente superficies curvas de y subconjuntos abiertos de .

La estructura matemática de la geometría riemanniana permite extender a subconjuntos curvos o hipersuperficies del espacio euclidiano, las nociones métricas de longitud de una curva, área de una superficie, (hiper)volumen o ángulo entre dos curvas. Esto se realiza definiendo en cada punto un objeto matemático llamado tensor métrico que permite especificar un procedimiento para medir distancias, y por tanto definir cualquier otro concepto métrico basado en distancias y sus variaciones.

Desde el punto de vista matemático una variedad de Riemann es una tripleta del tipo:

Donde:

es una variedad diferenciable en la que se ha especificado el conjunto de cartas locales.
es una aplicación bilineal definida positiva desde el espacio tangente a la variedad:

En particular, la métrica g permite definir en cada espacio tangente una norma ||.|| mediante

Variedades riemannianas como subvariedades

Una forma sencilla de construir variedades riemanninas es buscar subconjuntos "suaves" del espacio euclidiano. De hecho, cada subvariedad diferenciable de Rn tiene una métrica de Riemann inducida: el producto interior en cada fibra tangente es la restricción del producto interno en Rn.

De hecho, como se sigue del teorema de inmersión de Nash, todos las variedades de Riemann se pueden considerar subvariedades diferenciables de , para algún D. En particular se puede definir una variedad de Riemann como un espacio métrico que es isométrico a una subvariedad diferenciable de RD con la métrica intrínseca inducida. Esta definición puede no ser teóricamente suficientemente flexible, pero es muy útil al construir las primeras intuiciones geométricas en la geometría de Riemann.

En general una subvariedad de , dimensión m, vendrá definida localmente por un conjunto de aplicaciones diferenciables del tipo:

Por lo que matricialmente se tendrá en cada punto de coordenadas asociadas ui que el tensor métrico puede expresarse en coordenadas locales en términos de la matriz jacobiana de f:

En este caso las harían el papel de coordenadas locales sobre la subvariedad.

Variedades riemannianas como secciones diferenciables

Una variedad de Riemann se define generalmente como variedad diferenciable con una sección diferenciable de formas cuadráticas positivo-definidas en el fibrado tangente. Entonces se tiene trabajo en demostrar que puede ser convertido en un espacio métrico:

Si γ: [a, b] → M es una curva continuamente diferenciable en la variedad de Riemann M, entonces se define su longitud L(γ) como

(nótese que el γ'(t) es un elemento del espacio tangente a M en el punto γ(t); ||.||denota la norma resultante del producto interior dado en ese espacio tangente.)

Con esta definición de longitud, cada variedad de Riemann conexa M se convierte en un espacio métrico (e incluso un espacio métrico con longitud) de un modo natural: la distancia d(x, y) entre los puntos x y y en M se define como

d (x, y) = inf { L(γ): γ es una curva continuamente diferenciable que conecta a x y y }.
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