Varianza

Definición

Si tenemos un conjunto de datos de una misma variable, la varianza se calcula de la siguiente forma:

${\displaystyle \sigma _{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-{\overline {X}}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j>i}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}$

Siendo:

• ${\displaystyle x_{i}}$: cada dato
• ${\displaystyle {\overline {X}}}$:media de los datos
• ${\displaystyle n}$: número de datos

Variable aleatoria

Aplicando este concepto a una variable aleatoria con media μ = E[X], se define su varianza, Var(X) (también representada como ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$ o, simplemente σ²), como

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}].\,}$

Desarrollando la definición anterior, se obtiene la siguiente definición alternativa (y equivalente):

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{X}^{2}&=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]\\&=\operatorname {E} [(X^{2}-2X\mu +\mu ^{2})]\\&=\operatorname {E} [X^{2}]-2\mu \operatorname {E} [X]+\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} [X^{2}]-2\mu ^{2}+\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} [X^{2}]-\mu ^{2}.\end{aligned}}}$

Si una distribución no tiene esperanza, como ocurre con la de Cauchy, tampoco tiene varianza. Existen otras distribuciones que, aun teniendo esperanza, carecen de varianza. Un ejemplo de ellas es la de Pareto cuando su índice k satisface 1 < k ≤ 2.

Caso continuo

Si la variable aleatoria X es continua con función de densidad f(x), entonces

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\int (x-\mu )^{2}\,f(x)\,dx\,,}$

donde

${\displaystyle \mu =\int x\,f(x)\,dx\,,}$

y las integrales están definidas sobre el rango de X.

Caso discreto

Si la variable aleatoria X es discreta con pesos x₁ ↦ p₁, ..., x_n ↦ p_n y n es la cantidad total de datos, entonces tenemos:

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=(\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot (x_{i}-\mu )^{2})}$

donde

${\displaystyle \mu =(\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot x_{i})}$ .