Transformada de Radon

En matemáticas, la transformada de Radon bidimensional, llamada así por Johann Radon, es una transformación integral que consiste en la integral de una función sobre un conjunto de rectas.

Por ejemplo, si una línea la representamos por , donde es la mínima distancia desde la recta al origen y es el ángulo que forma el eje con el vector posición del punto de la recta más cercano al origen, entonces

En un espacio -dimensional la transformada de Radon es la integral de una función sobre hiperplanos. La integral de una función sobre un conjunto de rectas en un espacio -dimensional se le denomina transformada de rayos-X, aunque a veces este término es adoptado por la transformada de Radon.

En el contexto de las tomografías la transformada de Radon se le suele llamar senograma puesto que la transformada de Radon de una función delta tiene como respuesta característica un seno. En consecuencia, la representación gráfica de la transformada de Radon de un conjunto de pequeños objetos parece una colección de senos con diferentes fases y amplitudes.

Esta transformada en su versión bidimensional y tridimensional fue introducida en un artículo en 1917 por Johann Radon, quien, a su vez, generó una formulación para la transformación inversa. Posteriormente, la antitransformada fue generalizada en el contexto de la geometría integral.

La transformada de Radon es útil en los TAC's (tomografía axial computarizada) y en la solución de ecuaciones en derivadas parciales hiperbólicas.

Teorema de las secciones de Fourier

La transformada de Radon está estrechamente relacionada con la transformada de Fourier. Para una función de una variable, se define la transformada de Fourier de la siguiente forma

y para una función de bidimensional de variable

por conveniencia cambiamos la nomenclatura de la siguiente forma

puesto que tomaremos la transformada de Fourier respecto la variable variable. El teorema de las secciones de Fourier se enuncia de la siguiente forma:

donde

Este resultado da una fórmula explícita para la inversión de la transformada de Radon, y además nos da las condiciones para conocer en qué espacios de funciones la transformada de Radon es invertible. Sin embargo, esta igualdad no es útil desde un punto de vista numérico.

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