Transformada de Fourier

La transformada de Fourier, denominada así por Joseph Fourier, es una transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de transformarse en cualquiera de los dominios al otro. El propio término se refiere tanto a la operación de transformación como a la función que produce.

En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un sonido musical continuo pero no necesariamente sinusoidal), la transformada de Fourier se puede simplificar para el cálculo de un conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado coeficientes de las series de Fourier. Ellos representan el espectro de frecuencia de la señal del dominio-tiempo original.

La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función con otra función definida de la manera siguiente:

.

Definición

La transformada de Fourier relaciona una función en el dominio del tiempo, mostrada en rojo, con una función en el dominio de la frecuencia, mostrado en azul. Las frecuencias componentes, extendidas para todo el espectro de frecuencia, son representadas como picos en el dominio de la frecuencia.

La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo durante el cual existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de frecuencias para toda la función.

Definición formal

Sea una función integrable Lebesgue:

o

Se define la transformada de Fourier de como la función

Observemos que esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier es una función acotada. Además por medio del teorema de la convergencia dominada puede demostrarse fácilmente que es continua.

La transformada de Fourier inversa de una función integrable está definida por:

Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la varianza para cada función.

Other Languages
العربية: تحويل فورييه
azərbaycanca: Furye çevrilməsi
беларуская (тарашкевіца)‎: Пераўтварэньне Фур’е
Bahasa Indonesia: Transformasi Fourier
한국어: 푸리에 변환
norsk nynorsk: Fouriertransformasjon
Simple English: Fourier transform
татарча/tatarça: Фурье рәвешүзгәртүе
Tiếng Việt: Biến đổi Fourier
Bân-lâm-gú: Fourier piàn-ōaⁿ