Topología simpléctica

La topología simpléctica es aquella parte de las matemáticas referida al estudio de las variedades simplécticas. Estas variedades se presentan naturalmente en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, que proporciona una de las motivaciones principales para el tema. Hay un modelo local estándar, a saber R2n con ωi,n+i = 1; ωn+i,i = -1; ωj,k = 0 para todo i = 0,...,n-1; j,k=0,...,2n-1 (kj+n o jk+n). Se llama a esto un espacio lineal simpléctico.

Una variedad simpléctica es un par (M, ω) donde M es una variedad diferenciable y ω es una 2-forma cerrada, no degenerada en M llamada la forma simpléctica. Aquí, "no degenerada" significa que para cada vector distinto de cero u en el espacio tangente en un punto, hay un vector v tal que

ω(u, v) ≠ 0

Los ejemplos fundamentales de variedades simplécticas vienen dados por los fibrados cotangentes de variedades; éstos se presentan en la mecánica clásica, donde el conjunto de todas las configuraciones posibles de un sistema se modela como variedad, y el fibrado cotangente de esta variedad describe el espacio de fase del sistema. Las variedades de Kähler son también variedades simplécticas. Ya en los años 70, los simplécticos expertos estaban inseguros de si existía alguna variedad simpléctica compacta no kähleriana, pero muchos ejemplos se han construido desde entonces; en particular, Robert Gompf ha demostrado que cada grupo finitamente presentado aparece como el grupo fundamental de alguna 4-variedad simpléctica, en contraste marcado con el caso kähleriano.

Directamente de la definición, se puede demostrar que M es de dimensión par 2n y que el ωn es una forma nula en ninguna parte, la forma volumen. Se sigue que una variedad simpléctica está canónicamente orientada y viene con una medida canónica, la medida de Liouville.

Campos vectoriales hamiltonianos

En una variedad simpléctica, cada función diferenciable, H, define un campo vectorial único,XH, llamado el campo vectorial hamiltoniano. Se define de tal modo que para cada campo vectorial Y en M la identidad

dH(Y) = ω(XH,Y)

valga. Los campos vectoriales hamiltonianos dan a las funciones en M la estructura de un álgebra de Lie con el corchete de Poisson

{f,g} = ω(Xf,Xg) = Xg(f)

(Advertencia: otras convenciones de signo están también en uso).

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