Terna pitagórica

Triángulo rectángulo con sus tres lados y ángulos nombrados. El triángulo rectángulo cuyas longitudes de sus tres lados sean números enteros positivos, éstos forman una terna pitagórica, y evidentemente a² + b² = c².

Una terna pitagórica consiste en una tupla de tres números naturales a, b, c que cumplen que a² + b² = c². El nombre deriva del teorema de Pitágoras, el cual plantea que en cualquier triángulo rectángulo, se cumple que x² + y² = z² (siendo x e y las longitudes enteras de sus catetos y z la de la hipotenusa). En sentido contrario también se cumple, o sea, cualquier terna pitagórica se puede asociar con las longitudes de dos catetos y una hipotenusa, formando un triángulo rectángulo.

Las ternas pitagóricas suelen representarse como (a,b,c). Las ternas cuyos tres números son coprimos; (es decir que el m.c.d(a,b,c)=1) reciben el nombre de ternas pitagóricas primitivas. Las 158 primeras ternas pitagóricas primitivas,[1] con c ≤ 1000 son:

(3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (8,15,17) (9,40,41)
(11,60,61) (12,35,37) (13,84,85) (15,112,113) (16,63,65)
(17,144,145) (19,180,181) (20,21,29) (20,99,101) (21,220,221)
(23,264,265) (24,143,145) (25,312,313) (27,364,365) (28,45,53)
(28,195,197) (29,420,421) (31,480,481) (32,255,257) (33,56,65)
(33,544,545) (35,612,613) (36,77,85) (36,323,325) (37,684,685)
(39,80,89) (39,760,761) (40,399,401) (41,840,841) (43,924,925)
(44,117,125) (44,483,485) (48,55,73) (48,575,577) (51,140,149)
(52,165,173) (52,675,677) (56,783,785) (57,176,185) (60,91,109)
(60,221,229) (60,899,901) (65,72,97) (68,285,293) (69,260,269)
(75,308,317) (76,357,365) (84,187,205) (84,437,445) (85,132,157)
(87,416,425) (88,105,137) (92,525,533) (93,476,485) (95,168,193)
(96,247,265) (100,621,629) (104,153,185) (105,208,233) (105,608,617)
(108,725,733) (111,680,689) (115,252,277) (116,837,845) (119,120,169)
(120,209,241) (120,391,409) (123,836,845) (124,957,965) (129,920,929)
(132,475,493) (133,156,205) (135,352,377) (136,273,305) (140,171,221)
(145,408,433) (152,345,377) (155,468,493) (156,667,685) (160,231,281)
(161,240,289) (165,532,557) (168,425,457) (168,775,793) (175,288,337)
(180,299,349) (184,513,545) (185,672,697) (189,340,389) (195,748,773)
(200,609,641) (203,396,445) (204,253,325) (205,828,853) (207,224,305)
(215,912,937) (216,713,745) (217,456,505) (220,459,509) (225,272,353)
(228,325,397) (231,520,569) (232,825,857) (240,551,601) (248,945,977)
(252,275,373) (259,660,709) (260,651,701) (261,380,461) (273,736,785)
(276,493,565) (279,440,521) (280,351,449) (280,759,809) (287,816,865)
(297,304,425) (300,589,661) (301,900,949) (308,435,533) (315,572,653)
(319,360,481) (333,644,725) (336,377,505) (336,527,625) (341,420,541)
(348,805,877) (364,627,725) (368,465,593) (369,800,881) (372,925,997)
(385,552,673) (387,884,965) (396,403,565) (400,561,689) (407,624,745)
(420,851,949) (429,460,629) (429,700,821) (432,665,793) (451,780,901)
(455,528,697) (464,777,905) (468,595,757) (473,864,985) (481,600,769)
(504,703,865) (533,756,925) (540,629,829) (555,572,797) (580,741,941)
(615,728,953) (616,663,905) (696,697,985)

El ordenamiento natural de los Números Enteros positivos en forma piramidal muestra el ordenamiento numérico de las ternas de forma sencilla en el siguiente enlace: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/ba/Triangulo_n%C3%BAmerico_de_ternas_pitag%C3%B3ricas.jpg

Nota histórica

Desde un punto de vista histórico, puede ser correcto traer a la memoria el problema que le cupo tratar a Pitágoras (580- 500 a.n.e) ligado a la construcción de triángulos rectángulos, cuyos lados tengan longitudes enteras. En todo caso, se propone resolver la ecuación:

para valores enteros de .

Por ejemplo,

  • ;

Pitágoras llegó a alcanzar las infinitas soluciones

  • para el parámetro k, entero positivo. [2]

Por otra parte se atribuye a los Babilonios en ser los primeros que encontraron ternas pitagóricas, las cuales están registradas en la tablilla Plimpton 322, algunos investigadores suponen que para generar dichas ternas utilizaron la formula:[3] ; la cual también aparece en el libro X de los elementos de Euclides.

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