Terna pitagórica

Triángulo rectángulo con sus tres lados y ángulos nombrados. El triángulo rectángulo cuyas longitudes de sus tres lados sean números enteros positivos, éstos forman una terna pitagórica, y evidentemente a² + b² = c².

Una terna pitagórica consiste en una tupla de tres enteros positivos a, b, c que cumplen que a² + b² = c². El nombre deriva del teorema de Pitágoras, el cual plantea que en cualquier triángulo rectángulo, se cumple que x² + y² = z² (siendo x e y las longitudes enteras de sus catetos y z la de la hipotenusa). En sentido contrario también se cumple, o sea, cualquier terna pitagórica se puede asociar con las longitudes de dos catetos y una hipotenusa, formando un triángulo rectángulo.

Las ternas pitagóricas suelen representarse como (a,b,c). Las ternas cuyos tres números son coprimos reciben el nombre de ternas pitagóricas primitivas. Las 16 primeras ternas pitagóricas primitivas, con c ≤ 100 son:

( 3 , 4 , 5 ) ( 5, 12, 13) ( 7, 24, 25) ( 8, 15, 17)
( 9, 40, 41) (11, 60, 61) (12, 35, 37) (13, 84, 85)
(16, 63, 65) (20, 21, 29) (28, 45, 53) (33, 56, 65)
(36, 77, 85) (39, 80, 89) (48, 55, 73) (65, 72, 97)

Historia

Desde un punto de vista histórico, Pitágoras (580- 500 A.D.) fue quien planteó el problema ligado a la construcción de triángulos rectángulos, cuyos lados fuesen longitudes enteras. En cualquier caso, se proponía resolver la ecuación:

para valores enteros de . Pitágoras encontró infinitas soluciones al problema de la forma

para el parámetro entero positivo k, [1]​ como puede ser el ejemplo .

Por otra parte se atribuye a los Babilonios en ser los primeros que encontraron ternas pitagóricas, las cuales están registradas en la tablilla Plimpton 322, algunos investigadores suponen que para generar dichas ternas utilizaron la fórmula:[2]

como m>n, la cual también aparece en el libro X de los elementos de Euclides.

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