Teoremas de Mohr

Los teoremas de Mohr, describen la relación entre el momento flector y las deformaciones que éste produce sobre una estructura. Los teoremas de Mohr permiten calcular deformaciones a partir del momento y viceversa. Son métodos de cálculo válidos para estructuras isostáticas e hiperestáticas regidas por un comportamiento elástico del material.

Usualmente estos teoremas son conocidos como Teoremas de Mohr, sin embargo fueron presentados por el matemático británico Green en 1873.

Primer teorema de Mohr: variaciones angulares

El ángulo () que hay comprendido entre dos tangentes en dos puntos cualesquiera A y B de la curva elástica plana, es igual al área total del trozo correspondiente del diagrama de momentos reducidos:

( 1)

Donde los ángulos deben expresarse en radianes. El teorema de Mohr dice que el giro de un punto de una elástica (la deformada) respecto de otro punto de la elástica, se puede obtener mediante el área de momentos flectores entre A y B, dividido por la rigidez a flexión "EI". La variable x recorre el eje baricéntrico de la pieza prismática.

Deducción

Esta fórmula puede ser obtenida directamente integrando la ecuación de la curva elástica linealizada:

Teniendo en cuenta que las derivadas de la flecha transversal v al eje pueden coincidir aproximadamente con los ángulos girados por la sección, la ecuación anterior nos lleva que:

Expresión no linealizada

El "primer teorema de Mohr" en realidad proporciona una expresión aproximada para pequeños desplazamientos. Si se considera la expresión completa de la elástica (no-linealizada) el primer teorema de Mohr resultaría:

( 1b)

Para probar esta expresión se procede igual que antes, integrando la expresión de la curva elástica, considerando esta vez la expresión completa:

Teniendo en cuenta ahora que:

De la cual se deduce trivialmente la expresión (1b)

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