Teorema integral de Cauchy

En matemáticas, el teorema integral de Cauchy (también conocido como el teorema de Cauchy-Goursat) en el análisis complejo, nombrado después Augustin-Louis Cauchy, es una declaración importante sobre integrales de la línea para las funciones holomorficas en el plano complejo. Esencialmente, dice que si dos trayectorias diferentes conectan los mismos dos puntos, y una función es holomorfa por todas partes entre las dos trayectorias, entonces las dos integrales de la trayectoria de la función serán iguales .El teorema integral de Cauchy, descubierto por Augustin Louis Cauchy en 1825, es parte fundamental del cálculo integral de variable compleja.

Enunciado

El teorema se formula usualmente para caminos cerrados de la siguiente manera: sea U un subconjunto abierto de C que esté simplemente conectado, sea f: U → C sea una función holomorfa, y sea , Gamma es una trayectoria rectificable en U cuyo punto inicial es igual a su punto final. Entonces:

Una versión precisa ( homología) puede ser declarada utilizando números de devanado. El número de devanado de una curva cerrada alrededor de un punto a que no está en la curva es la integral de f (z)/(2πi), donde f(z) = 1/(z - a) alrededor de la curva. Es un número entero. Brevemente, la integral de la trayectoria a lo largo de una Curva de Jordan de una función holomorfa en el interior de la curva, es cero. En lugar de un solo camino cerrado podemos considerar una combinación lineal de caminos cerrados, donde los escalares son enteros. Tal combinación se denomina cadena cerrada, y se define una integral a lo largo de la cadena como una combinación lineal de integrales sobre trayectos individuales. Tal combinación se denomina cadena cerrada, y se define una integral a lo largo de la cadena como una combinación lineal de integrales sobre trayectorias individuales. Una cadena cerrada se denomina ciclo en una región si es homóloga a cero en la región; Es decir, el número de devanado, expresado por la integral de 1/(z-a) sobre la cadena cerrada, es cero para cada punto 'a' no en la región. Esto significa que la cadena cerrada no enrolla alrededor de puntos fuera de la región. Entonces el teorema de Cauchy puede ser declarado como la integral de una función holomorfa en un conjunto abierto tomado alrededor de cualquier ciclo en el conjunto abierto es cero. Un ejemplo es proporcionado por la región en forma de anillo. Esta versión es crucial para la derivación rigurosa de la Serie de Laurent y la fórmula de residuos de Cauchy sin implicar ninguna noción física tal como cortes transversales o deformaciones. La versión permite la extensión del Teorema de Cauchy a las regiones conectadas multiplicadas analíticamente.

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