Teorema fundamental de la aritmética

En matemática, y particularmente en la teoría de números, el teorema fundamental de la Aritmética o teorema de factorización única afirma que todo entero positivo mayor que 1 es un número primo o bien un único producto de números primos. Por ejemplo,

No existe ninguna otra factorización de 6936 y 1200 en números primos. Como la multiplicación es conmutativa, el orden de los factores es irrelevante; por esta razón, usualmente se enuncia el teorema como factorización única salvo en el orden de los factores.

Aplicaciones

Representación canónica de un entero positivo

Todo entero positivo n > 1 puede ser representado exactamente de una única manera como un producto de potencias de números primos:

donde p1 < p2 < ... < pk son primos y αi son enteros positivos.

Esta representación se llama representación canónica[3] de n.

Por ejemplo 999 = 33×37, 1000 = 23×53, 1001 = 7×11×13

Nótese que los factores p0 = 1 pueden ser insertados sin cambiar el valor de n (p.e. 1000 = 23×30×53). En efecto, cualquier número positivo puede ser representado únicamente como un producto infinito tomado sobre todo el conjunto de los números primos,

donde un número finito de αp son enteros positivos, y el resto son cero. Permitiendo exponentes negativos se proporciona una forma canónica para los números racionales.

Importancia

El teorema establece la importancia de los números primos. Estos son los «ladrillos básicos» con los que se «construyen» los enteros positivos, en el sentido de que todo entero positivo puede construirse como producto de números primos de una única manera.

Conocer la factorización en primos de un número permite encontrar todos sus divisores, primos o compuestos. Por ejemplo, la factorización anteriormente dada de 6936 muestra que cualquier divisor positivo 6936 debe tener la forma: , donde 0 ≤ a ≤ 3 (4 valores posibles), 0 ≤ b ≤ 1 (2 valores posibles), y 0 ≤ c ≤ 2 (3 valores posibles). Multiplicando el número de opciones independientes se obtiene un total de divisores positivos

Una vez que se conoce la factorización en primos de dos números, se pueden hallar fácilmente su máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Por ejemplo, de las factorizaciones anteriores de 6936 y 1200 se puede deducir que su máximo común divisor es 2³ · 3 = 24. Sin embargo, si no se conoce la factorización en primos, usar el algoritmo de Euclides en general requiere muchos menos cálculos que factorizar los dos números.

El teorema fundamental implica que las funciones aritméticas aditivas y multiplicativas están completamente determinadas por sus valores en las potencias de los números primos.

Cualquier número entero n mayor que 1 puede escribirse de manera única, salvo el orden, como un producto de números primos.

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