Teorema fundamental de homomorfismos

En álgebra abstracta, para un número de estructuras algebraicas, el teorema fundamental de homomorfismos relaciona la estructura de dos objetos entre los cuales se dé un homomorfismo, y del núcleo y de la imagen del homomorfismo.

En la teoría de grupos, el teorema se puede formular así:

Si es un homomorfismo de grupos y es un subgrupo normal de contenido en el núcleo de , entonces existe un único homomorfismo tal que , en donde es la proyección canónica. Así, tenemos el diagrama conmutativo siguiente
Teorema fundamental de homomorfismos diagrama conmutativo.svg

El homomorfismo está dado por

para todo de , y se dice que es inducido por . Nótese que si , entonces , por lo que , así que y el homomorfismo está bien definido.

El núcleo de este homomorfismo es , y es un epimorfismo si y sólo si lo es.

Si es un homomorfismo, entonces es un epimorfismo, y puesto que es inyectivo cuando su núcleo es trivial, lo que sucede si y sólo si , tenemos un isomorfismo . Este caso particular del teorema fundamental de homomorfismos se conoce como primer teorema de isomorfía.

El teorema fundamental de homomorfismos también se cumple para los espacios vectoriales, anillos y módulos tomando, respectivamente, ideales y submódulos en lugar de subgrupos normales.

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