Teorema del valor intermedio

Teorema de los valores intermedios.

En análisis matemático el teorema del valor intermedio (o más correctamente teorema de los valores intermedios, o TVI), es un teorema sobre funciones continuas reales definidas sobre un intervalo. Intuitivamente, el resultado afirma que, si una función es continua en un intervalo, entonces toma todos los intermedios comprendidos entre los extremos del intervalo.

Enunciado

El teorema de los valores intermedios establece que:

Sea una función continua en un intervalo . Entonces para cada tal que , existe al menos un dentro de tal que .

Enunciados equivalentes

  • Si f es una función continua a valores reales definida sobre el intervalo [a, b], y u es un número entre f(a)y f(b), entonces existe un c ∈ [a, b] tal que f(c) = u.
  • Como consecuencia del teorema de Weierstrass, se puede generalizar diciendo que la imagen de un intervalo es otro intervalo.
    • Si X y Y son espacios topológicos, f : XY es continua, y X es conexo, entonces f(X) es conexo.
    • Un subconjunto de R es conexo si y solo si es un intervalo.
  • Teorema de Bolzano: caso particular .
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