Teorema del punto fijo de Banach

En análisis matemático el teorema del punto fijo de Banach (también llamado teorema de la aplicación contractiva) es una de las herramientas más importantes para demostrar la existencia de soluciones de numerosos problemas matemáticos. El teorema garantiza la existencia y unicidad de puntos fijos de ciertas funciones definidas sobre espacios métricos y proporciona un método para encontrarlos. Debe su nombre a Stefan Banach (1892–1945), quien fue el primero en enunciarlo en 1922[ cita requerida].

Enunciado

Sea (X,d) un espacio métrico completo y f una aplicación. Se dice que f es contractiva si existe una constante K con 0<K<1 tal que para cualesquiera . Un punto fijo de f es un punto de X tal que = . Entonces el teorema del punto fijo de Banach dice:

Sea (X,d) un espacio métrico completo y sea f: XX una aplicación contractiva en X. Entonces existe un único punto fijo de f.


Stefan Banach

Además, el teorema establece que para todo punto x de X la sucesión { x, f(x), f(f(x)),...} converge a dicho punto fijo.

Demostración

Existencia del punto fijo: La demostración se sigue de que la sucesión así definida es una sucesión de Cauchy por ser la función contractiva. Como X es completo, esta sucesión converge a un punto de X.

Unicidad del punto fijo: Supongamos que y son dos puntos fijos distintos de situados a una distancia uno del otro. Entonces,

y, como es contractiva,

De lo anterior se sigue que , pero esto es absurdo, por lo que no puede tener dos puntos fijos distintos.

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