Teorema del mono infinito

De acuerdo con el segundo enunciado Borel-Cantelli, con suficiente tiempo, un chimpancé escribiendo al azar podría escribir una obra de Shakespeare (o cualquier otro texto).

El teorema del mono infinito afirma que un mono pulsando teclas al azar sobre un teclado durante un periodo de tiempo infinito casi seguramente podrá escribir finalmente cualquier texto dado. En el mundo angloparlante se suele utilizar el Hamlet de Shakespeare como ejemplo, mientras en el mundo hispanohablante se utiliza el Quijote de Cervantes.[1]

En este contexto, el término casi seguramente es un término matemático con un sentido preciso y el "mono" no es en realidad un mono, sino que se trata de una metáfora de la creación de una secuencia aleatoria de letras ad infinitum.

La idea original fue planteada por Émile Borel, en 1913, en su libro Mécanique Statistique et Irréversibilité. Borel dijo que si un millón de monos mecanografiaran diez horas al día era extremadamente improbable que pudiesen producir algo que fuese igual a lo contenido en los libros de las bibliotecas más ricas del mundo y aun así, en comparación, sería aún más inverosímil que las leyes de la estadística fuesen violadas, siquiera someramente. Para Borel, el propósito de la metáfora de los monos era ilustrar la magnitud de un acontecimiento extraordinariamente improbable.

Después de 1970, la popular imagen de los monos se extendió hasta el infinito, convirtiéndose en que si un infinito número de monos mecanografiaran por un intervalo infinito de tiempo producirían texto legible. Insistir en ambos infinitos es, empero, excesivo. Un solo mono inmortal que ejecutase infinitamente tecleos sobre una máquina de escribir podría escribir cualquier texto dado, además, el texto sería producido un infinito número de veces.

Bosquejo intuitivo del teorema

El teorema del mono infinito es directamente demostrable, incluso sin necesidad de resultados más avanzados. Si dos acontecimientos son estadísticamente independientes, queriendo decir esto que ninguno de ellos afecta al resultado del otro, entonces, la probabilidad de que ambos sucedan es igual al producto de las probabilidades individuales de que suceda cada uno. Por ejemplo, si las probabilidades de lluvia en Sídney en un día en particular es 0,3 y la probabilidad de que ese mismo día haya un terremoto en San Francisco es de un 0,8, entonces, la probabilidad de que ambos sucedan el mismo día es 0,3x0,8=0,24.

Ahora, suponiendo que un teclado tenga 50 teclas y la palabra a ser escrita es “banana”, mecanografiando al azar, la probabilidad de que la primera letra escrita sea b es 1/50, de que la segunda sea a es 1/50, etc. Dichos eventos son estadísticamente independientes, así que la probabilidad de que las seis primeras letras escritas sean “banana” es 1/506.

Ahora, las probabilidades de no escribir “banana” en cada bloque de 6 letras es 1-1/506. Dado que cada bloque debe ser considerado independientemente, la probabilidad X de no escribir “banana” en los n primeros de 6 letras es X=(1-1/506)n. A medida que n aumenta, X se reduce. Para n=1.000.000, X=99.99%, pero para un n igual a 10 000 millones, X=53% y para una n=100 000 millones es un 0,17%. A medida que n se acerca a infinito, la probabilidad de X tiende a cero. Esto es, haciendo n lo suficientemente grande, X puede ser tan pequeño como uno quiera. Si considerásemos las veces que se escribiría “banana” entre bloques de 6 letras, X tendería a 0 incluso más rápidamente. El mismo argumento se aplica si el mono estuviese escribiendo cualquier otra cadena de caracteres de cualquier tamaño.

Esta demostración muestra por qué infinitos monos podrían (con casi toda probabilidad) producir un texto tan rápidamente como pudiese ser escrito por un mecanografiador humano copiándolo desde el original. En este caso X=(1-1/506)n, donde X representa la probabilidad de que ninguno de los primeros n monos escribiese banana a la primera. Cuando consideremos 100 000 millones de monos, la probabilidad cae al 0,17% y a medida que n aumenta, X (la probabilidad de que todos los monos fallen al escribir un texto dado) tiende a 0.

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