Teorema del límite central

El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, si Sn es la suma de n variables aleatorias independientes y de varianza no nula pero finita, entonces la función de distribución de Sn «se aproxima bien» a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Así pues, el teorema asegura que esto ocurre cuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande.[2]

Definición

Sea la función de densidad de la distribución normal definida como[1]

con una media µ y una varianza σ2. El caso en el que su función de densidad sea , a la distribución se le conoce como normal estándar.

Se define Sn como la suma de n variables aleatorias, independientes, idénticamente distribuidas, y con una media µ y varianza σ2 finitas (σ2≠0):

de manera que, la media de Sn es n·µ y la varianzaσ2, dado que son variables aleatorias independientes. Con tal de hacer más fácil la comprensión del teorema y su posterior uso, se hace una estandarización de Sn como

para que la media de la nueva variable sea igual a 0 y la desviación estándar sea igual a 1. Así, las variables Zn convergerán en distribución a la distribución normal estándar N(0,1), cuando n tienda a infinito. Como consecuencia, si Φ(z) es la función de distribución de N(0,1), para cada número real z:

donde Pr( ) indica probabilidad y lim se refiere a límite matemático.

Enunciado formal

De manera formal, normalizada y compacta el enunciado del teorema es:[3]

Teorema del límite central: Sea , , ..., un conjunto de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas con media μ y varianza . Sea

Entonces

.

Es muy común encontrarlo con la variable estandarizada Zn en función de la media muestral ,

puesto que son equivalentes, así como encontrarlo en versiones no normalizadas como puede ser:[5]

Teorema (del límite central): Sea , , ..., un conjunto de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas de una distribución con media μ y varianza σ2≠0. Entonces, si n es suficientemente grande, la variable aleatoria

tiene aproximadamente una distribución normal con y .


Nota: es importante remarcar que este teorema no dice nada acerca de la distribución de , excepto la existencia de media y varianza.[4]

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Bahasa Indonesia: Teorema limit pusat
norsk bokmål: Sentralgrenseteoremet
Simple English: Central limit theorem