Teorema de representación de Riesz

Hay varios teoremas bien conocidos en el análisis funcional mencionados como el teorema de representación de Riesz.

El teorema de representación de espacios de Hilbert

Este teorema establece una conexión importante entre un espacio de Hilbert y su espacio dual: si el cuerpo de base son los números reales, los dos son isométricamente isomorfos; si el cuerpo de base son los números complejos, los dos son isométricamente anti-isomorfos. El teorema es la justificación para la notación bra-ket popular en el tratamiento matemático de la mecánica cuántica.

Sea un espacio de Hilbert, y su espacio dual, consistente en el conjunto de todos los funcionales lineales continuos de en el cuerpo base R o C. Si x es un elemento de , entonces φx está definido por

es un elemento de . Donde es un producto interno de . El teorema de representación de Riesz establece que cada elemento de puede ser escrito unívocamente de esta forma:

Teorema. La función

es un (anti-) isomorfismo isométrico, significando que:

  • Φ es biyectivo.
  • Las normas de x y de Φ(x) coinciden: ||x|| = ||Φ(x)||.
  • Φ es aditivo: Φ(x1 + x2) = Φ(x1) + Φ(x2).
  • Si el cuerpo base es R, entonces Φ(λ x) = λ Φ(x) para todo número real λ.
  • Si el cuerpo base es C, entonces Φ(λ x) = λ* Φ(x) para todo número λ complejo, donde λ* denota la conjugación compleja de λ. La función inversa de Φ puede ser descrita como sigue.

Dado un elemento φ de , el complemento ortogonal del núcleo de φ es un subespacio unidimensional de . Tómese un elemento diferente de cero z en el subespacio, y el conjunto x =z/||z||. Entonces Φ(x) = φ. El teorema fue probado simultáneamente por Riesz y Fréchet en 1907.

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