Teorema de los números primos

En teoría de números el teorema de los números primos es un enunciado que describe la distribución asintótica de los números primos. Este teorema da una descripción general de cómo están distribuidos los números primos en el conjunto de los números naturales. Esto formaliza la idea intuitiva de que los primos son menos comunes cuanto más grandes son. Es uno de los teoremas más importantes de la historia de las matemáticas, no solo por su belleza sino por su influencia en el desarrollo posterior de la investigación de los números primos.[1]

El teorema también es conocido como teorema del número primo[2] o teorema del número de primos.

Expresión del teorema

Gráfico comparativo de π(x) (rojo), x / ln x (verde) y Li(x) (azul).

Sea la función contador de números primos, que denota la cantidad de primos que no exceden a . El teorema establece que:[3]

, donde es el logaritmo natural de .

Esta expresión no implica que la diferencia de las dos partes de la misma para valores de muy grandes sea cero; sólo implica que el cociente de éstas para valores de muy grandes es casi igual a 1.

Una mejor aproximación que la anterior viene dada por la integral logarítmica desplazada:

, donde es la integral logarítmica desplazada de .

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