Teorema de la probabilidad total

El teorema de la probabilidad total afirma lo siguiente:

Sea una partición sobre el espacio muestral y sea un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales , entonces la probabilidad del suceso viene dada por la expresión:

Demostración

Por hipótesis tenemos una partición del espacio muestral . Por lo tanto el suceso se puede escribir como

ahora bien, los conjuntos son dos a dos disjuntos, ya que en caso contrario los tampoco lo serían. En consecuencia

Por último, se sabe que para cualesquiera sucesos y . Luego

que era lo que se quería demostrar.

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