Teorema de la función implícita

En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones suficientes, bajo las cuales una ecuación o conjunto de ecuaciones de varias variables permite definir a una de ellas o varias de ellas como función de las demás.

Una función y(x) está dada de forma implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual. Dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y = f(x).

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región o un abierto de entre las variables "x" e "y":

Es decir, el teorema establece que existe una función y = f(x) que sustituida en la ecuación anterior, la convierte en una identidad matemática.

Ejemplos

La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita . Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función . Pero no existirá una función similar en un entorno del punto B.

Antes de enunciar el teorema, considere la función

Si consideramos la ecuación , entonces la función admite como preimágenes todos los vectores que resuelven esta ecuación: . Por esto, no es posible despejar globalmente una variable en términos de la otra y por lo mismo no es posible determinar cómo cambia una variable en función de la otra, al menos no globalmente pero sí en un entorno de . (El único vector factible en la preimagen es ).

Otro ejemplo más complejo sería el siguiente:

Puede verse que si para valores de (z, u) cercanos al punto (0, 1) existen dos funciones tales que se cumple automáticamente para puntos de un entorno abierto:

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