Teorema de Taylor

La función exponencial (línea roja continua) y su aproximación mediante un polinomio de Taylor alrededor del origen de coordenadas (línea verde discontinua).

En cálculo, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en 1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación.

Caso de una variable

Enunciación del teorema

La versión más básica del teorema es como sigue:

Teorema de Taylor.[3]​ Sea k ≥ 1 un entero y la función f : RR diferenciable k veces en el punto aR. Entonces existe una función hk : RR tal que

. Esta es la llamada forma de Peano del resto.

El polinomio que aparece en el teorema de Taylor se denomina polinomio de Taylor de orden k.

de la función f en el punto a. el polinomio de Taylor es el único polinomio que "mejor aproxima en forma asintótica" en el sentido de que existe una función hk : RR y un polinomio p de orden k tal que

entonces p = Pk. El teorema de Taylor describe el comportamiento asintótico del término del resto

el cual es el error de aproximación cuando se aproxima f con su polinomio de Taylor. usando la notación o el teorema de Taylor se puede expresar de la siguiente forma:

Fórmulas explícitas para el resto

Existen diferentes formas de expresar que se mencionan a continuación:

Forma de valor medio del resto. Sea f : RR, diferenciable k + 1 veces en el intervalo abierto con f(k) continua en el intervalo cerrado entre a y x. Entonces

( 2a)

para algún número real ξL entre a y x. Esta es la forma de Lagrange[4]​ del resto. Similarmente,

( 2b)

para algún número real ξC entre a y x. Esta es la forma de Cauchy[5]​ del resto.

Usualmente, esta refinación del teorema de Taylor, se demuestra con el teorema del valor medio, de ahí su nombre. También se pueden hallar expresiones similares. Por ejemplo, si G(t) es continua en el intervalo cerrado y diferenciable con derivadas no nulas en el intervalo abierto entre a y x, entonces

para algún número ξ entre a y x. Esta versión generaliza las formas de Lagrange y Cauchy del resto, que son tomadas como casos especiales, y se demuestran usando el teorema del valor medio de Cauchy.

En el caso de la forma integral del resto, se requieren conceptos de la teoría integral de Lebesgue para una generalidad completa. Sin embargo, se mantiene el concepto que provee la integral de Riemann donde la derivada (k + 1)-ésima de f es continua en el intervalo cerrado [a,x].

Forma integral del resto.[6]​ Sea f(k), continua absolutamente en el intervalo cerrado entre a y x. entonces

( 3)

Debido a la continuidad absoluta de f(k) en el intervalo cerrado entre a y x su derivada f(k+1) existe como una función L1, y el resultado puede probarse con un cálculo formal usando el teorema fundamental del cálculo e integración por partes.

Para algunas funciones , se puede probar que el resto, , se aproxima a cero cuando se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto y son denominadas funciones analíticas.

El teorema de Taylor con expresado de la segunda forma es también válido si la función tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.

Aproximación del resto

Suele ser muy útil en la práctica acotar el término del resto de la aproximación de Taylor, en lugar de tener la fórmula exacta de este. Suponiendo que f es continuamente diferenciable veces en un intervalo que contiene a . Suponemos que hay constantes y tal que

en el intervalo . Entonces el término del resto satisface la desigualdad[7]

Si , y similarmente si . Esta es una consecuencia simple de la forma de Lagrange del resto. En particular, si

sobre un intervalo con algún , entonces

para todo . A la segunda desigualdad se la llama acotación uniforme, porque permanece uniformemente para todo x sobre el intervalo .

Ejemplo

Aproximación de ex (azul) por su polinomio de Taylor Pk de orden k = 1,...,7 centrado en x = 0 (rojo).

Suponiendo que se desea aproximar la función f(x) = ex en el intervalo [−1,1] con un error no mayor a 10−5. Este ejemplo necesita de que se conozcan las siguientes propiedades de la función exponencial:

De estas propiedades se tiene que f(k)(x) = ex para todo k, y en particular, f(k)(0) = 1. Entonces el polinomio de Taylor de orden k de f en 0 y su resto bajo la forma de Lagrange son:

donde ξ es algún número entre 0 y x. Ya que ex es creciente (*), podemos usar simplemente que ex ≤ 1 para x ∈ [−1, 0] para acotar el resto sobre el subintervalo [−1, 0]. Para obtener una cota superior para el resto en [0,1], usamos la propiedad eξ<ex para 0<ξ<x para acotar

usando la expansión de Taylor de segundo orden. Entonces resolvemos ex para deducir que

simplemente maximizando el numerador y minimizando el denominador. Combinando estas acotaciones para ex vemos que

así se alcanza la precisión requerida, donde

(ver factorial o calcular manuelmente los valores 9!=362 880 y 10!=3 628 800.) Como conclusión, el teorema de Taylor permite la aproximación

Luego, esta aproximación nos da la expresión decimal e ≈ 2.71828, correcta hasta cinco dígitos decimales.

Demostración

La demostración de la fórmula (1a), con el resto de la forma (2a), se sigue trivialmente del teorema de Rolle aplicado a la función:

Un cálculo rutinario permite ver que la derivada de esta función cumple que:

Se define ahora la función G como:

Es evidente que esta función cumple , y al ser esta función diferenciable, por el teorema de Rolle se sigue que:

Y como:

Se obtiene finalmente que:

Y substituyendo en esta fórmula la definición de , queda precisamente la fórmula (1a) con la forma del resto (2a).

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