Teorema de Taylor

La función exponencial (línea roja continua) y su aproximación mediante un polinomio de Taylor alrededor del origen de coordenadas (línea verde discontinua).

En cálculo, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en 1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671[1]​. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación.

Caso de una variable

Enunciación del teorema

La versión más básica del teorema es como sigue:

Teorema de Taylor.[4]​ Sea k ≥ 1 un entero y la función f : RR diferenciable k veces en el punto aR. Entonces existe una función hk : RR tal que

(1)

. Esta es la llamada forma de Peano del resto.

El polinomio que aparece en el teorema de Taylor se denomina polinomio de Taylor de orden k.

de la función f en el punto a. El polinomio de Taylor es el único polinomio que "mejor aproxima en forma asintótica" en el sentido de que existe una función hk : RR y un polinomio p de orden k tal que

entonces p = Pk. El teorema de Taylor describe el comportamiento asintótico del término del resto

el cual es el error de aproximación cuando se aproxima f con su polinomio de Taylor. Utilizando la notación o el teorema de Taylor se puede expresar de la siguiente forma:

Fórmulas explícitas para el resto

Existen diferentes formas de expresar que se mencionan a continuación:

Forma de valor medio del resto. Sea f : RR, diferenciable k + 1 veces en el intervalo abierto con f(k) continua en el intervalo cerrado entre a y x. Entonces

(2a)

para algún número real ξL entre a y x. Esta es la forma de Lagrange[5]​ del resto. Similarmente,

(2b)

para algún número real ξC entre a y x. Esta es la forma de Cauchy[6]​ del resto.

Usualmente, esta refinación del teorema de Taylor, se demuestra con el teorema del valor medio, de ahí su nombre. También se pueden hallar expresiones similares. Por ejemplo, si G(t) es continua en el intervalo cerrado y diferenciable con derivadas no nulas en el intervalo abierto entre a y x, entonces

para algún número ξ entre a y x. Esta versión generaliza las formas de Lagrange y Cauchy del resto, que son tomadas como casos especiales, y se demuestran usando el teorema del valor medio de Cauchy.

En el caso de la forma integral del resto, se requieren conceptos de la teoría integral de Lebesgue para una generalidad completa. Sin embargo, se mantiene el concepto que provee la integral de Riemann donde la derivada (k + 1)-ésima de f es continua en el intervalo cerrado [a,x].

Forma integral del resto.[7]​ Sea f(k), continua absolutamente en el intervalo cerrado entre a y x. entonces

(3)

Debido a la continuidad absoluta de f(k) en el intervalo cerrado entre a y x su derivada f(k+1) existe como una función L1, y el resultado puede probarse con un cálculo formal usando el teorema fundamental del cálculo e integración por partes.

Para algunas funciones , se puede probar que el resto, , se aproxima a cero cuando se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto y son denominadas funciones analíticas.

El teorema de Taylor con expresado de la segunda forma es también válido si la función tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.

Acotación del resto

Suele ser muy útil en la práctica acotar el término del resto de la aproximación de Taylor, en lugar de tener la fórmula exacta de este. Suponiendo que f es continuamente diferenciable veces en un intervalo que contiene a . Suponemos que hay constantes y tal que

en el intervalo . Entonces el término del resto satisface la desigualdad[8]

Si , y similarmente si . Esta es una consecuencia simple de la forma de Lagrange del resto. En particular, si

sobre un intervalo con algún , entonces

para todo . A la segunda desigualdad se la llama acotación uniforme, porque permanece uniformemente para todo x sobre el intervalo .

Ejemplo

Aproximación de ex (azul) por su polinomio de Taylor Pk de orden k = 1,...,7 centrado en x = 0 (rojo).

Suponiendo que se desea aproximar la función f(x) = ex en el intervalo [−1,1] con un error no mayor a 10−5. Este ejemplo necesita de que se conozcan las siguientes propiedades de la función exponencial:

(*)

De estas propiedades se tiene que f(k)(x) = ex para todo k, y en particular, f(k)(0) = 1. Entonces el polinomio de Taylor de orden k de f en 0 y su resto bajo la forma de Lagrange son:

donde ξ es algún número entre 0 y x. Ya que ex es creciente (*), podemos usar simplemente que ex ≤ 1 para x ∈ [−1, 0] para acotar el resto sobre el subintervalo [−1, 0]. Para obtener una cota superior para el resto en [0,1], usamos la propiedad eξ<ex para 0<ξ<x para acotar

usando la expansión de Taylor de segundo orden. Entonces resolvemos ex para deducir que

simplemente maximizando el numerador y minimizando el denominador. Combinando estas acotaciones para ex vemos que

así se alcanza la precisión requerida, donde

(ver factorial o calcular manuelmente los valores 9!=362 880 y 10!=3 628 800.) Como conclusión, el teorema de Taylor permite la aproximación

Luego, esta aproximación nos da la expresión decimal e ≈ 2.71828, correcta hasta cinco dígitos decimales.

Demostración

Sea[9]

donde, como dice en el enunciado del teorema de Taylor,

Es suficiente mostrar que

La demostración de (1) se basa en la aplicación repetida de la regla de L'Hôpital. Se observa que, para cada j = 0,1,...,k−1, . De aquí que cada una de los primeras k−1 derivadas del numerador en se anula en , y lo mismo sucede con el denominador. También, ya que la condición de que la función f sea k veces diferenciable en un punto requiere diferenciabilidad de orden k−1 en un entorno de dicho punto (esto es así, porque la diferenciabilidad requiere una función definida en un entorno del punto), el numerador y sus k − 2 derivadas son diferenciables en un entorno de a. Claramente, el denominador también satisface dicha condición, y adicionalmente, no se anula a menos que x=a, por lo tanto se satisfacen todas las condiciones para la regla de L'Hopital, y así se justifica su utilización. Por lo tanto

donde queda la anteúltima igualdad por la definición de la derivada en x = a.

Obtención de la forma de valor medio del resto

Sea G una función real, continua sobre un intervalo cerrado entre a y x y diferenciable con derivadas no nulas sobre el intervalo abierto entre a y x, y la función que se define como

Entonces, por el teorema del valor medio de Cauchy,

para algún ξ sobre el intervalo abierto entre a y x. Se observa que el numerador F(x) − F(a) = Rk(x) es exactamente el resto del polinomio de Taylor para f(x). Calculando

reemplazando en (*) y reorganizando los términos para hallar que

Esta es la forma del término que mencionamos como "resto" después enunciamos el teorema de Taylor con el resto bajo la forma del valor medio. La forma de Lagrange del resto puede obtenerse haciendo y la forma de Cauchy haciendo .

Observación. Usando este método también se puede recurrir a la forma integral del resto haciendo

pero los requerimientos de f necesitados para usar el teorema del valor medio son más fuertes, si se tiene el objetivo de probar el caso en que f(k) es únicamente continua absolutamente. Sin embargo, si se usa la integral de Riemann en vez de la integral de Lebesgue, los requerimientos no pueden ser tan débiles.

Obtención de la forma integral del resto

Debido a la continuidad absoluta de f(k) sobre el intervalo cerrado entre a y x su derivada f(k+1) existe como una función L1, y se usa el teorema fundamental del cálculo y la integración por partes. Esta misma demostración se aplica para la integral de Riemann teniendo en cuenta que f(k) es continua sobre el intervalo cerrado y diferenciable sobre el intervalo abierto entre a y x, y esto permite llegar al mismo resultado que cuando se utilizó el teorema del valor medio.

El teorema fundamental del cálculo dice que

A partir de aquí se usa la integración por partes y se usa una vez más el teorema fundamental del cálculo para ver que

que es exactamente el teorema de Taylor con resto en la forma integral para el caso k=1. La enunciación general se demuestra usando la inducción. Suponiendo que

Integrando el término del resto por partes se llega a que

Substituyendo esto en la fórmula in (*) se muestra que si se tiene para el valork, debe obtenerse también para el valor k + 1. Por lo tanto, ya que se tiene para k = 1, se tiene para cualquier valor entero positivo k.

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