Teorema de Taniyama-Shimura

El teorema de Taniyama-Shimura, anteriormente conocido como conjetura de Taniyama-Shimura fue una conjetura, y actualmente un teorema, muy importante dentro de las matemáticas modernas, que conecta las curvas elípticas definidas sobre el Shimura-Weil.[1] En 1995, Andrew Wiles y Richard Taylor probaron un caso especial de la conjetura, suficiente para demostrar el último teorema de Fermat. En 2001 fue finalmente demostrada por Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor. Desde entonces, la conjetura de Taniyama-Shimura se conoce también como teorema de la modularidad.

Enunciado

Se conoce como curva elíptica a aquella descrita con una ecuación del tipo

tal que el discriminante del polinomio en el lado derecho de la ecuación no es 0. Supongamos que , , y son números racionales.

Una forma modular es una función analítica del semiplano superior a los complejos , tal que satisfaga ciertas condiciones de simetría (entre ellas para todo y algún entero fijo) y una condición de crecimiento (holomorficidad en el punto en el infinito).

El teorema afirma lo siguiente:

Para toda curva elíptica con coeficientes racionales existe una forma modular (de peso 2) tal que la serie asociada a y la serie asociada a coinciden. Esto equivale a que los coeficientes asociados a la curva (que se obtienen a partir del número de puntos de la curva módulo , para primo de buena reducción de ) coinciden con los coeficientes del desarrollo de Fourier en el infinito de .


Andrew Wiles (90's)
Other Languages