Teorema de Gauss-Bonnet

Un ejemplo de región compleja donde el teorema de Gauss-Bonnet puede ser aplicado. Se muestra el signo de la curvatura geodésica.

El teorema de Gauss-Bonnet en geometría diferencial es una proposición importante sobre superficies que conecta su geometría (en el sentido de la curvatura) con su topología (en el sentido de la característica de Euler).

Se nombra por Carl Friedrich Gauss que era consciente de una versión del teorema pero que nunca la publicó, y de Pierre Ossian Bonnet que publicó un caso especial en 1848.

Definición

Supóngase que M es una variedad de Riemann compacta orientable de dimensión 2, con borde . Denótese por K la curvatura gaussiana en los puntos de M y por kg la curvatura geodésica en los puntos de . Entonces

donde χ(M) es la característica de Euler de M.

El teorema se puede aplicar en particular si la variedad no tiene borde, en cuyo caso la integral puede ser omitido.

Si se dobla o deforma la variedad M su característica de Euler no cambiará, mientras que las curvaturas en los puntos dados sí. El teorema requiere algo asombroso, que la integral total de todas las curvaturas siga siendo igual.

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