Teorema de Euler

Leonhard Euler, retratado en 1753 por Jakob Emanuel Handmann. Kunstmuseum Basel.[1]

En teoría de números el teorema de Euler, también conocido como teorema de Euler-Fermat, es una generalización del pequeño teorema de Fermat, y como tal afirma una proposición sobre la divisibilidad de los números enteros. El teorema establece que:

Si a y n son enteros primos relativos, entonces n divide al entero aφ(n)- 1


sin embargo, es más común encontrarlo con notación moderna en la siguiente forma:

Si a y n son enteros primos relativos, entonces aφ(n) ≡ 1 (mod n).


donde φ(n) es la función φ de Euler.

Función φ de Euler

Si n es un número entero, la cantidad de enteros entre 1 y n que son primos relativos con n se denota como φ(n):

Valor de n Coprimos con n entre 1 y n Función φ(n)
1 1 1
2 1 1
3 1,2 2
4 1,3 2
5 1,2,3,4 4
6 1,5 2
7 1,2,3,4,5,6 6
8 1,3,5,7 4
9 1,2,4,5,7,8 6
10 1,3,7,9 4
φ(n) +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
0+   1 1 2 2 4 2 6 4 6
10+ 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18
20+ 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28
30+ 8 30 16 20 16 24 12 36 18 24
40+ 16 40 12 42 20 24 22 46 16 42
50+ 20 32 24 52 18 40 24 36 28 58
60+ 16 60 30 36 32 48 20 66 32 44
70+ 24 70 24 72 36 40 36 60 24 78
80+ 32 54 40 82 24 64 42 56 40 88
90+ 24 72 44 60 46 72 32 96 42 60

A la función φ se le conoce como las sigts función φ de Euler. Tal función es multiplicativa: si m y n son primos relativos, entonces

φ(mn)=φ(m)φ(n).

Podemos verificarlo con la tabla dada arriba:

φ(30) = φ(6)φ(5) =2·4 = 8
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