Teorema de Euclides


El teorema de Euclides sobre la infinitud de los números primos es el siguiente:

El conjunto formado por los números primos es infinito.


Demostración de Euclides

Euclides formuló la primera demostración en la proposición 20 del libro IX de su obra Elementos.[1] Una adaptación común de esta demostración original sigue así:

Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos p1, p2, ···, pn, y se considera el producto de todos ellos más uno, q=p1p2 ··· pn+1. Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos pi de la lista. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo tendremos un número primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, es compuesto, entonces existirá algún factor p que divida a q (q=pn+1). Suponiendo que p es alguno de los pi, se deduce entonces que p divide a la diferencia q-p1p2 ··· pn=1, pero ningún número primo divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que p está en el conjunto original. La consecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primos que no pertenecen a él, y esto es independiente del conjunto finito que se tome.

Considerense los siguientes teoremas:

Teorema 1. Todo entero n > 1 es primo o admite al menos un divisor primo. Demostración: Procedamos por inducción sobre n. Cuando n = 2 el resultado se cumple, pues los únicos divisores de 2 son ±1, ±2 y por lo tanto es primo. Supongamos que para entero k ∈ {2, 3, . . . , n − 1} el resultado se cumple y veamos ahora qué ocurre cuando k = n . Si n es primo no habría nada que probar, así que podemos suponer que n es compuesto y por lo tanto n = rt para ciertos enteros r, t ∈ Z>0. Por propiedades de divisibilidad r < n y t < n por lo que aplica la hipótesis inductiva y entonces n admite un divisor primo.

Teorema 2 (Teorema de Euclides). Existe una infinidad de números primos. Demostración de Euclides. Supongamos que sólo existe un número finito de números primos, digamos p1, p2, . . . , pn. Sea N = . Cómo N > 1, entonces es primo o producto de primos. Como N > pi para i ∈ {1, 2, . . . , n} deducimos que N debe ser compuesto, sin embargo, ninguno de los pi divide a N, pues de hacerlo se tendría que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle pi | N − Yn i=1 pi y por lo tanto pi | 1 } lo que no tiene sentido. Se ha llegado así a una contradicción al teorema 1, la cual se originó al suponer que los números primos son finitos


Existen numerosas demostraciones parecidas a ésta, que se formulan a continuación:

Reformulación de Kummer

Supóngase que existe una cantidad finita de números primos p1 < p2 < p3 < ... < pr. Sea N = p1·p2·p3·...·pr > 2. El entero N-1, al ser producto de primos, tiene un divisor pi que también es divisor de N; así que pi divide a N - (N-1) = 1. Esto es absurdo, por lo que tiene que haber infinitos números primos.

Demostración de Hermite

Sea n=1, 2, 3, ... y qn el factor primo más pequeño de n ! + 1 para cada n. Como qn tiene que ser mayor que n, se deduce que esta sucesión contiene infinitos elementos distintos, y que por tanto existen infinitos números primos.

Demostración de Stieltjes

Supóngase que existe un número finito de números primos. Sea Q el producto de todos los números primos, y sean m y n dos enteros positivos con Q = mn.
Se tiene que todo número primo p divide, o bien a m, o bien a n, pero no a ambos, es decir, m y n son primos entre sí. Entonces m+n no puede tener ningún divisor primo, pero como es estrictamente mayor que 1, debe ser un número primo que no divide a Q: contradicción.

Demostración de Goldbach (1730)

Esta demostración se basa en los números de Fermat, es decir, los números de la forma :.

Lema: Dos números de Fermat distintos Fm y Fn son primos entre sí.


( Goldbach, 1730)

Para cada número de Fermat Fn, escójase un divisor primo pn. Como los números de Fermat son primos entre sí, sabemos que dos primos cualesquiera pm y pn son distintos. Así, hay al menos un número primo pn por cada número de Fermat Fn, es decir, al menos un número primo por cada número entero n.

Esta demostración también es válida si se toma otra secuencia infinita de números naturales que son primos entre sí, como la secuencia de Sylvester.

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