Teorema de Darboux

El teorema de Darboux es un teorema en el campo matemático de la geometría diferencial, y más específicamente de las formas diferenciales, generalizando parcialmente el teorema de la integración de Frobenius. Es un resultado fundamental en varios campos, el principal el de la geometría simpléctica. El teorema se nombra en reconocimiento del matemático francés Jean Gaston Darboux[2] y que también probó un resultado análogo en geometría de contacto.

El teorema afirma que todas las variedades simplécticas son localmente simplectomórficas. Eso significa, que para toda variedad de ese tipo de dimensión 2n existe un homeomorfismo con el espacio lineal simpléctico dotado de la forma simpléctica canónica ω0. Equivalentemente el teorema implica que en un entorno de cualquier punto puede definirse un conjunto de coordenadas canónicas.

Enunciado del teorema

El enunciado preciso del problema es el siguiente:

Sea una variedad simpléctica de dimensión 2n, donde con es la 2-forma simpléctica. Entonces para cada punto existe una carta local que contiene a P tal que ω tiene la forma:

Enunciado más formalmente

Para cada punto de una variedad simpléctica existe una carta local tal que si es el pullback de la forma simpléctica canónica de entonces:

La carta local UP se llama carta local de Darboux alrededor de P. La variedad simpléctica puede ser recubierta mediante un recubrimiento formado por cartas de Darboux. El conjunto de coordenadas de Darboux se llaman usualmente en mecánica hamiltoniana, coordenadas canónicas.

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