Teorema de Cayley-Hamilton

En álgebra lineal, el teorema de Cayley-Hamilton (que lleva los nombres de los matemáticos Arthur Cayley y William Hamilton) asegura que todo endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo cualquiera anula su propio polinomio característico.

En términos matriciales, eso significa que :

si A es una matriz cuadrada de orden n y si

es su polinomio característico ( polinomio de indeterminada X), entonces al sustituir formalmente X por la matriz A en el polinomio, el resultado es la matriz nula:

El teorema de Cayley-Hamilton se aplica también a matrices cuadradas de coeficientes en un anillo conmutativo cualquiera.

Un corolario importante del teorema de Cayley-Hamilton afirma que el polinomio mínimo de una matriz dada es un divisor de su polinomio característico, y no solo eso, el polinomio mínimo tiene los mismos factores irreducibles que el polinomio característico.

Motivación

Este teorema tiene dos familias de uso:

  • Permite establecer resultados teóricos, por ejemplo para calcular el polinomio característico de un endomorfismo nilpotente.
  • Permite también simplificaciones poderosas en el cálculo de matrices. La aproximación por polinomios mínimos es en general menos costosa que la que se hace por determinantes.

Encontramos este teorema utilizado en los artículos sobre los polinomios de endomorfismo, endomorfismos nilpotentes, y más en general en la teoría general de las matrices.

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