Teorema de Cantor-Bernstein-Schröder

El teorema de Schröder y Bernstein establece un criterio para establecer si existe una función biyectiva entre dos conjuntos cualesquiera A y B:

Para cualesquiera conjuntos A y B, si existe una función inyectiva de A en B y existe una función inyectiva de B en A, entonces existe una correspondencia biunívoca entre B y A. Formalmente:

El teorema puede parecer trivial para conjuntos finitos, pero el enunciado del teorema se cumple para conjuntos de cualquier cardinalidad. El teorema resulta útil en muchos casos para poder determinar si un conjunto tiene la misma cardinalidad que otro conjunto, ya que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad justo cuando existe una correspondencia biunívoca entre ellos.


Aplicaciones

El teorema de Cantor-Schröder-Bernstein permite definir correctamente la cardinalidad como clase de equivalencia ya que como punto de partida de la relación de orden "tener más elementos que" se toma:

Obviamente se espera que la relación binaria anterior sea antisimétrica, es decir:

Pero eso, es lo que el teorema de Cantor-Shröder-Bernstein precisamente afirma, a saber, que se da la implicación anterior, con lo cual la relación binaria efectivamente es antisimétrica.

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