Teoría perturbacional

En mecánica cuántica, la teoría perturbacional o teoría de perturbaciones es un conjunto de esquemas aproximados para describir sistemas cuánticos complicados en términos de otros más sencillos. La idea es empezar con un sistema simple y gradualmente ir activando hamiltonianos "perturbativos", que representan pequeñas alteraciones al sistema. Si la alteración o perturbación no es demasiado grande, las diversas magnitudes físicas asociadas al sistema perturbado (por ejemplo sus niveles de energía y sus estados propios) podrán ser generados de forma continua a partir de los del sistema sencillo. De esta forma, podemos estudiar el sistema complejo basándonos en el sistema sencillo.

En particular al estudiar las energías de un sistema físico, el método consiste en identificar dentro del Hamiltoniano (perturbado) qué parte de éste corresponde a un problema con solución conocida (Hamiltoniano no perturbado en caso que su solución sea analítica) y considerar el resto como un potencial que modifica al anterior Hamiltoniano. Dicha identificación permite escribir a los autoestados del Hamiltoniano perturbado como una combinación lineal de los autoestados del Hamiltoniano sin perturbar y a las autoenergías como las autoenergías del problema sin perturbar más términos correctivos.

Procedimiento

Caso no degenerado

Sea el Hamiltoniano de un sistema físico. De acuerdo con lo antes mencionado, el mismo se puede escribir como , donde corresponde al Hamiltoniano sin pertubar (cuyas soluciones se conocen) y es el potencial que modifica a . El parámetro controla la magnitud de la perturbación. En general es un parámetro ficticio que se usa por conveniencia matemática y que al final del análisis se toma . Por otro lado, los autoestados de se escriben como una combinación lineal de los autoestados de

y las energías como

donde es la -ésima corrección a la energía. El índice indica el orden de la corrección comenzando por . Es decir, cuanto mayor sea , mejor aproximación se tendrá y para no hay corrección alguna. En las anteriores expresiones se ha supuesto que

y

Si reemplazamos las expresiones para , y en la segunda ecuación de la anterior línea se tiene

Esta igualdad se debe satisfacer para todo orden de . El primer término del lado izquierdo de la última línea corresponde al orden y debe ser idénticamente nulo ya que del lado derecho de la igualdad no existen términos de dicho orden en . Esto implica que, para que toda la suma se anule, los , donde es la delta de Kronecker.

Por otro lado, cuando se tiene en el lado izquierdo el primer orden de que se obtiene en el lado derecho cuando , es decir cuando o bien cuando . Por lo tanto se tiene

Para el segundo orden, y , y , entonces

Para el tercer orden, y , , y , entonces

y así sucesivamente hasta el orden que se desee. A partir de las anterior igualdades es posible calcular todos los coeficientes de las combinaciones lineales y las correcciones a las energías . Para obtenerlas se procede del siguiente modo: primero se usa el hecho que con lo cual, para los tres órdenes respectivamente se tiene,

Para hallar las correcciones a la energía se debe multiplicar por el bra y usar que , obteniéndose entonces

Reordenando las anteriores expresiones y despejando para la corrección deseada se tiene

De este modo se han obtenido las correcciones para las energías en términos de relaciones recursivas partiendo de la primera corrección cuyo valor es el elemento de matriz . Las correcciones también dependen de los coeficientes de las combinaciones lineales. Estos pueden ser hallados con un razonamiento similar, en efecto, si en vez de haber multiplicar por se multiplica por con se tiene

Reordenando para este caso

Los coeficientes se calculan por normalización del estado . Una vez obtenidos todos los coeficientes y las correcciones a la energía del orden deseado se los reemplaza en las expresiones expuestas inicialmente para determinar los autoestados de y las autoenergías de dicho operados, respectivamente.

Por ejemplo, si se desea calcular la corrección para la energía a primer orden y los autoestados correspondientes, las expresiones

y

se cortan para quedando

y

luego, se reemplazan los resultados antes hallados

y

y se obtienen las aproximaciones de los estados y las energías para el problema con la perturbación .

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