Trasfondo y motivación
El orden aparece por todas partes - por lo menos, si se trata de matemática y áreas relacionadas tales como la informática. El primer orden que uno típicamente encuentra en la educación matemática de la escuela primaria es el orden ≤ de los números naturales. Este concepto intuitivo es fácilmente extendido a otros conjuntos de números, tal como los enteros y reales. De hecho la idea de ser mayor o menor que otro número es una de las intuiciones básicas de los sistemas de numeración en general (que uno generalmente se interesa también en la diferencia real de dos números, que no viene dada por el orden). Otro ejemplo popular de un orden es el orden lexicográfico de las palabras en un diccionario.
Los tipos antedichos de orden tienen una propiedad especial: cada elemento se puede comparar con cualquier otro elemento, es decir es o mayor, o menor, o igual. Sin embargo, esto no siempre es un requisito deseable. Un ejemplo bien conocido es el orden de los subconjuntos de un conjunto. Si un conjunto contiene los elementos de cierto otro conjunto, entonces se puede decir que es mayor o igual. Con todo, hay conjuntos que pueden no ser comparables de este modo, puesto que cada uno puede contener algún elemento que no esté presente en el otro. Por lo tanto, inclusión de subconjuntos es un orden parcial, en comparación con los órdenes totales dados antes.
Alentadas por los amplios usos prácticos de los órdenes, se pueden definir numerosas clases especiales de conjuntos ordenados, algunas de las cuales han llegado a ser campos matemáticos por sí mismos. Además, la teoría del orden no se restringe a las varias clases de relaciones de orden, sino que también considera funciones apropiadas entre ellas. Un ejemplo simple de una propiedad orden teórica viene del análisis donde encontramos con frecuencia a las funciones monótonas.
