Teoría de las categorías

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Una categoría con objetos X,Y,Z y morfismos f, g, y g∘f.

La teoría de categorías es un estudio matemático que trata de axiomatizar de forma abstracta diversas estructuras matemáticas como una sola, mediante el uso de objetos y morfismos. Al mismo tiempo trata de mostrar una nueva forma de ver las matemáticas sin incluir las nociones de elementos, pertenencia, entre otras.

Historia

La teoría de categorías fue introducida en Topología algebraica, por Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane en 1942, en un importante paso para la transición desde homología a Teoría de la homología. Stanislaw Ulam afirma que existían ideas parecidas en la escuela polaca de los años 30 (ver Stanislaw Ulam).[1]

Los desarrollos subsiguientes de la teoría fueron impulsados por las necesidades computacionales del Álgebra homológica y más tarde por las necesidades axiomáticas de la Geometría algebraica.[1]​ La teoría general -cierta actualización del álgebra universal con muchas características nuevas que daban pie a una cierta flexibilidad en semántica y lógicas de orden superior- vino más tarde.

Estas aplicaciones de categorías en el campo de los fundamentos están siendo trabajadas en bastante detalle y no solamente en matemáticas. Existen matemáticos como William Lawvere que trabajan en la física, existen físicos trabajando en n-categorías, John Baez. La Lógica Categórica es ahora un campo bien definido basado en la teoría de tipos para la Lógica intuicionista, con aplicaciones a la teoría de la programación funcional y la teoría de dominios, todas enmarcadas en una categoría cartesianamente cerrada como descripciones no sintácticas del cálculo lambda. El uso del lenguaje de la teoría de las categorías le permite a uno aclarar qué tienen exactamente en común todas estas áreas.

Relación filosófica

Se elige el término categoría de Aristóteles pero en el sentido de Kant con la intención de asociarlo a una forma pura pero en el contexto exclusivamente matemático, es decir, sin efectos fuera de las matemáticas.

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