Teoría de la computabilidad

VEB Robotron Elektronik Dresden.

La Teoría de la computabilidad es la parte de la computación que estudia los problemas de decisión que pueden ser resueltos con un algoritmo o equivalentemente con una máquina de Turing. La teoría de la computabilidad se interesa por cuatro preguntas:

  • ¿Qué problemas puede resolver una máquina de Turing?
  • ¿Qué otros formalismos equivalen a las máquinas de Turing?
  • ¿Qué problemas requieren máquinas más poderosas?
  • ¿Qué problemas requieren máquinas menos poderosas?

La teoría de la complejidad computacional clasifica las funciones computables según el uso que hacen de diversos recursos en diversos tipos de máquina.

Antecedentes

El origen de los modelos abstractos de computación se encuadra en los años '30 (antes de que existieran los ordenadores modernos), para el trabajo de los lógicos Alonzo Church, Kurt Gödel, Stephen Kleene, Emil Leon Post, y Alan Turing. Estos trabajos iniciales han tenido una profunda influencia, tanto en el desarrollo teórico como en abundantes aspectos de la práctica de la computación; previendo incluso la existencia de ordenadores de propósito general, la posibilidad de interpretar programas, la dualidad entre software y hardware, y la representación de lenguajes por estructuras formales basados en reglas de producción.

El punto inicial de estos primeros trabajos fueron las cuestiones fundamentales que David Hilbert formuló en 1900, durante el transcurso de un congreso internacional.

Lo que Hilbert pretendía era crear un sistema matemático formal completo y consistente en el cual todas las aseveraciones fueran planteadas con precisión. Su intención era encontrar un algoritmo que determinara la verdad o falsedad de cualquier proposición en el sistema formal. Al problema en cuestión se le denominó Entscheidungsproblem. En caso de que Hilbert hubiese cumplido su objetivo, cualquier problema bien definido se resolvería simplemente al ejecutar dicho algoritmo.

Pero fueron otros los que mediante una serie de investigaciones mostraron que esto no era posible. En contra de esta idea K. Gödel sacó a la luz su conocido Primer Teorema de Incompletitud. Este viene a expresar que todo sistema de primer orden consistente que contenga los teoremas de la aritmética y cuyo conjunto de axiomas sea recursivo no es completo. Gödel construyó una fórmula que es satisfactoria pero que no puede ser probada en el sistema. Como consecuencia, no es posible encontrar el sistema formal deseado por Hilbert en el marco de la lógica de primer orden, a no ser que se tome un conjunto no recursivo de axiomas.

Una posterior versión, que resulta más general, del teorema de incompletitud de Gödel, indica que ningún sistema deductivo que contenga los teoremas de la aritmética, y con los axiomas recursivamente enumerables puede ser consistente y completo a la vez. Esto hace pensar, a nivel intuitivo, que no va a ser posible definir un sistema formal.

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Simple English: Computability theory