Teoría de haces

En matemática, un haz F sobre un espacio topológico dado, X, proporciona, para cada conjunto abierto U de X, un conjunto F(U), de estructura más rica. A su vez dichas estructuras: F(U), son compatibles con la operación de restricción desde un conjunto abierto hacia subconjuntos más pequeños y con la operación de pegado de conjuntos abiertos para obtener un abierto mayor. Un prehaz es similar a un haz, pero con él puede no ser posible la operación de pegado. Los haces nos permiten discutir de manera refinada sobre lo que significa ser una propiedad local, tal y como hablamos de ello cuando lo aplicamos a una función.

Introducción

Los haces son usados en topología, geometría algebraica y geometría diferencial siempre que queremos guardar rastro de los datos algebraicos que varían con cada conjunto abierto del objeto geométrico dado. Son una herramienta global para estudiar objetos que varían localmente ( i.e., dependiendo del conjunto abierto). Funcionan como instrumentos naturales para el estudio del comportamiento global de entidades que son de naturaleza local, como los conjuntos abiertos, o las funciones: continuas, analíticas, diferenciables...

Por considerar un ejemplo típico, sea un espacio topológico X, y sea para cada conjunto abierto U en X el conjunto F(U), que consta de todas las funciones continuas U R. Si V es un subconjunto abierto de U, entonces las funciones sobre U pueden restringirse a V, y tenemos una aplicación F(U) F(V). El "pegado" se trata del siguiente proceso: supón que los Ui son conjuntos abiertos cuya unión es U, y para cada i cogemos un elemento fi F(Ui), i.e. una función continua fi : Ui R. Si estas funciones coinciden allá donde se solapen, entonces podemos pegarlas juntas de manera que nos den una única forma de conseguir una función continua f : U R conincidente con todas las fi. La colección de conjuntos F(U) junto con las aplicaciones restricción F(U) F(V) forman un haz de conjuntos sobre X. Realmente, los F(U) son anillos conmutativos y las aplicaciones de restricción son homomorfismos de anillos, y F es además un haz de anillos sobre X.

Un ejemplo muy parecido se obtiene considerando una variedad diferenciable X, y para cada conjunto abierto U de X, tomando el conjunto F(U) como el de las funciones diferenciables U R. En este ejemplo va a funcionar también el pegado y tendremos un haz de anillos sobre X. Otro haz sobre X asigna a cada conjunto abierto U de X el espacio vectorial de todas los campos vectoriales diferenciables definidos sobre U. La restricción y el pegado funcionará como en el caso de las funciones, y obtendremos un haz de espacios vectoriales sobre la variedad X.

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