Teoría de grafos

Los grafos son el objeto de estudio de esta rama de las matemáticas. Arriba el grafo pez, en medio el grafo arco y abajo el grafo dodecaedro.

La Teoría de grafos, también llamada Teoría de gráficas. Es una rama de las matemáticas y las ciencias de la computación, que estudia las propiedades de los grafos, y que no se debe confundir con las gráficas que tienen una acepción muy amplia. Formalmente, un grafo es una pareja ordenada en la que es un conjunto no vacío de vértices y es un conjunto de aristas. Donde consta de pares no ordenados de vértices, tales que si {} entonces decimos que e son adyacentes; y [en el grafo] se representa mediante una línea no orientada que una a dichos vértices. Si el grafo es dirigido se le llama digrafo, se denota , y entonces el par es un par ordenado, y se representa con una flecha que va de a , y decimos que .[1]

La teoría de grafos tiene sus fundamentos en las matemáticas discretas y de las matemáticas aplicadas. Es una teoría que requiere de diferentes conceptos de diversas áreas como combinatoria, álgebra, probabilidad, geometría de polígonos, aritmética y topología. Actualmente ha tenido mayor preponderancia en el campo de la informática, las ciencias de la computación y telecomunicaciones. Debido a la gran cantidad de aplicaciones en la optimización de recorridos, procesos, flujos, algoritmos de búsquedas, entre otros, se generó toda una nueva teoría que se conoce como análisis de redes.[2]

Historia

Los 7 puentes del río Pregel en Königsberg.

El origen de la teoría de grafos se remonta al siglo XVIII con el problema de los puentes de Königsberg, el cual consistía en encontrar un camino que recorriera los siete puentes del río Pregel (54°42′12″N 20°30′56″E / 54.70333, 54°42′12″N 20°30′56″E / 20.51556) en la ciudad de Königsberg, actualmente Kaliningrado, de modo que se recorrieran todos los puentes pasando una sola vez por cada uno de ellos. El trabajo de Leonhard Euler sobre el problema titulado Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis[3] (La solución de un problema relativo a la geometría de la posición) en 1736, es considerado el primer resultado de la teoría de grafos. También se considera uno de los primeros resultados topológicos en geometría (que no depende de ninguna medida). Este ejemplo ilustra la profunda relación entre la teoría de grafos y la topología.

Luego, en 1847, Gustav Kirchhoff utilizó la teoría de grafos para el análisis de redes eléctricas publicando sus leyes de los circuitos para calcular el voltaje y la corriente en los circuitos eléctricos, conocidas como leyes de Kirchhoff, considerado la primera aplicación de la teoría de grafos a un problema de ingeniería.

En 1852 Francis Guthrie planteó el problema de los cuatro colores el cual afirma que es posible, utilizando solamente cuatro colores, colorear cualquier mapa de países de tal forma que dos países vecinos nunca tengan el mismo color. Este problema, que no fue resuelto hasta un siglo después por Kenneth Appel y Wolfgang Haken en 1976, puede ser considerado como el nacimiento de la teoría de grafos. Al tratar de resolverlo, los matemáticos definieron términos y conceptos teóricos fundamentales de los grafos.

En 1857, Arthur Cayley estudió y resolvió el problema de enumeración de los isómeros, compuestos químicos con idéntica composición (fórmula) pero diferente estructura molecular. Para ello representó cada compuesto, en este caso hidrocarburos saturados CnH2n+2, mediante un grafo árbol donde los vértices representan átomos y las aristas la existencia de enlaces químicos.

El término «grafo», proviene de la expresión H«graphic notation» usada por primera vez por Edward Frankland[4] y posteriormente adoptada por Alexander Crum Brown en 1884, y hacía referencia a la representación gráfica de los enlaces entre los átomos de una molécula.

El primer libro sobre teoría de grafos fue escrito por Dénes Kőnig y publicado en 1936.[5]

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